Estados coherentes en física matemática.

Papel de los estados coherentes

Los estados coherentes se han introducido en un contexto físico, primero como estados cuasi clásicos en la mecánica cuántica , luego como la columna vertebral de la óptica cuántica y se describen con ese espíritu en el artículo Estados coherentes (ver también ^[1] ). Sin embargo, han generado una enorme variedad de generalizaciones, que han dado lugar a una enorme cantidad de literatura en física matemática . En este artículo esbozamos las principales direcciones de investigación en esta línea. Para más detalles, nos remitimos a varias encuestas existentes. ^{[2] [3] [4]}

Una definición general

Sea un espacio de Hilbert complejo y separable , un espacio localmente compacto y una medida en . Para cada in , denota un vector in . Supongamos que este conjunto de vectores posee las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

1. El mapeo es débilmente continuo, es decir, para cada vector en , la función es continua (en la topología de ). ${\displaystyle x\mapsto |x\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$ ${\displaystyle X}$
2. La resolución de la identidad.
   $${\displaystyle \int _{X}|x\rangle \langle x|\,d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}}$$
   se cumple en sentido débil en el espacio de Hilbert , es decir, para dos vectores cualesquiera en , se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$
   $${\displaystyle \int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \,d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle \,.}$$

Un conjunto de vectores que satisfacen las dos propiedades anteriores se denomina familia de estados coherentes generalizados . Para recuperar la definición anterior (dada en el artículo Estado coherente ) de estados coherentes canónicos o estándar (CCS), basta tomar , el plano complejo y ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X\equiv \mathbb {C} }$ ${\textstyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.}$

A veces, la resolución de la condición de identidad se reemplaza por una condición más débil, con los vectores simplemente formando un conjunto total ^{[ se necesita aclaración ]} y las funciones , a medida que se ejecutan , forman un espacio de Hilbert de núcleo reproductivo . El objetivo en ambos casos es asegurar que un vector arbitrario sea expresable como una combinación lineal (integral) de estos vectores. De hecho, la resolución de la identidad implica inmediatamente que ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)\left|x\right\rangle \,d\nu (x)\,,}$$

${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Estos vectores son funciones continuas, integrables al cuadrado y satisfacen la propiedad de reproducción. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \int _{X}K(x,y)\Psi (y)\,d\nu (y)=\Psi (x)\,,}$$

${\displaystyle K(x,y)=\langle x|y\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(x,y)&={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\,,\\\int _{X}K(x,z)\,K(z,y)\,d\nu (z)&=K(x,y)\,.\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos

Presentamos en esta sección algunos de los tipos de estados coherentes más comúnmente utilizados, como ilustraciones de la estructura general dada anteriormente.

Estados coherentes no lineales

Una gran clase de generalizaciones del CCS se obtienen mediante una simple modificación de su estructura analítica. Sea una secuencia infinita de números positivos ( ). Definir y por convención establecer . En el mismo espacio de Fock en el que se describieron los CCS, ahora definimos los estados coherentes deformados o no lineales relacionados mediante la expansión ${\displaystyle \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \dots \leq \varepsilon _{n}\leq \cdots }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}!=1}$

$${\displaystyle \vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-1/2}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.}$$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})}$ ${\displaystyle \langle \alpha \vert \alpha \rangle =1}$

$${\displaystyle \int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\,,}$$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$siendo un disco abierto en el plano complejo de radio , el radio de convergencia de la serie (en el caso del CCS, .) La medida es genéricamente de la forma (para ), donde se relaciona con la condición de momento. ${\displaystyle L}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$ ${\displaystyle L=\infty }$ ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle d\theta \,d\lambda (r)}$ ${\displaystyle \alpha =re^{i\theta }}$ ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}!}$

Una vez más, vemos que para un vector arbitrario en el espacio de Fock, la función tiene la forma , donde es una función analítica en el dominio . El núcleo reproductor asociado a estos estados coherentes es ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

$${\displaystyle K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\,.}$$

Estados coherentes de Barut-Girardello

Por analogía con el caso CCS, se puede definir un operador de aniquilación generalizada por su acción sobre los vectores , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

$${\displaystyle A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,,}$$

estados Fock ${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \,,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \,.}$$

álgebras cuánticas ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle I}$

También se conocen como operadores de escalera los operadores y del tipo general definido anteriormente . Cuando tales operadores aparecen como generadores de representaciones de álgebras de Lie, los vectores propios de generalmente se denominan estados coherentes de Barut-Girardello . ^[5] Un ejemplo típico se obtiene a partir de las representaciones del álgebra de Lie de SU(1,1) en el espacio de Fock . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$

Estados coherentes de Gazeau-Klauder

A menudo se utiliza una extensión no analítica de la expresión anterior de los estados coherentes no lineales para definir estados coherentes generalizados asociados a hamiltonianos físicos que tienen espectros puntuales puros. Estos estados coherentes, conocidos como estados coherentes de Gazeau-Klauder , están etiquetados por variables de ángulo de acción . ^[6] Supongamos que nos dan el hamiltoniano físico , con , es decir, que tiene valores propios de energía y vectores propios , que suponemos que forman una base ortonormal para el espacio de estados de Hilbert . Escribamos los valores propios introduciendo una secuencia de cantidades adimensionales ordenadas como: . Entonces, para todos y , los estados coherentes de Gazeau-Klauder se definen como ${\textstyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}$ ${\displaystyle E_{0}=0}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle E_{n}=\omega \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}}$ ${\displaystyle 0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\cdots }$ ${\displaystyle J\geq 0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle |J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,,}$$

de estabilidad temporal ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \,,}$$

identidad de la acción

$${\displaystyle \langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\,.}$$

funciones casi periódicas ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

En realidad, la construcción de Gazeau-Klauder CS se puede extender a CS vectoriales y a hamiltonianos con espectros degenerados, como lo muestran Ali y Bagarello. ^[7]

Estados coherentes del núcleo de calor.

Otro tipo de estado coherente surge al considerar una partícula cuyo espacio de configuración es el grupo múltiple de un grupo de Lie compacto K. Hall introdujo estados coherentes en los que el habitual gaussiano en el espacio euclidiano es reemplazado por el núcleo de calor en K. ^[8] El espacio de parámetros para los estados coherentes es la " complejización " de K ; por ejemplo, si K es SU( n ) , entonces la complejización es SL( n , C ) . Estos estados coherentes tienen una resolución de la identidad que conduce a un espacio de Segal-Bargmann sobre la complejización. Stenzel amplió los resultados de Hall a espacios simétricos compactos, incluidas esferas. ^{[9] [10]} Los estados coherentes del núcleo de calor, en el caso , han sido aplicados en la teoría de la gravedad cuántica por Thiemann y sus colaboradores. ^[11] Aunque hay dos grupos de Lie diferentes involucrados en la construcción, los estados coherentes del núcleo de calor no son del tipo Perelomov. ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (2)}$

El enfoque teórico de grupo

Gilmore y Perelomov, de forma independiente, se dieron cuenta de que la construcción de estados coherentes a veces puede verse como un problema teórico de grupo. ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17]}

Para ver esto, volvamos un momento al caso de la CCS. Allí, de hecho, el operador de desplazamiento no es más que el representante en el espacio de Fock de un elemento del grupo de Heisenberg (también llamado grupo de Weyl-Heisenberg), cuyo álgebra de Lie es generada por y . Sin embargo, antes de continuar con la CCS, consideremos primero el caso general. ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle X,\,P}$ ${\displaystyle I}$

Sea un grupo localmente compacto y supongamos que tiene una representación continua e irreducible en un espacio de Hilbert mediante operadores unitarios . Esta representación se llama integrable al cuadrado si existe un vector distinto de cero en el que la integral ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle U(g),\;g\in G}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\,d\mu (g)}$$

medida de Haaradmisibleunimodular ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle c(\psi )<\infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(g)|\psi \rangle ,{\text{ for all }}g\in G.}$$

grupo de Heisenberg

$${\displaystyle \int _{G}\left|g\right\rangle \left\langle g\right|\,d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}}$$

representación regular ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle F(g)=\langle g|\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$ ${\displaystyle \phi \mapsto F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$

Un ejemplo: ondas

Un ejemplo típico de la construcción anterior lo proporciona el grupo afín de la línea, . Este es el grupo de todas las matrices 2×2 del tipo, ${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$

$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle g=(b,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (b,a)\cdot x=b+ax}$ ${\displaystyle d\mu (b,a)=a^{-2}\,db\,da}$ ${\displaystyle a^{-1}\,db\,da}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U(b,a)}$

$${\displaystyle (U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\,.}$$

transformada de Fourier ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle {\widehat {\psi }}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\,dk<\infty \,,}$$

$${\displaystyle c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\left\vert \left\langle \psi |U(b,a)\psi \right\rangle \right\vert ^{2}\,{\frac {db\,da}{a^{2}}}<\infty \,.}$$

$${\displaystyle |b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(b,a)\psi \,,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}}$$

$${\displaystyle \int _{G_{\text{Aff}}}\left|b,a\right\rangle \left\langle b,a\right|{\frac {db\,da}{a^{2}}}=I}$$

wavelet madrewavelets ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle |b,a\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$

$${\displaystyle F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \,,}$$

transformada wavelet continua^{[18] [19]} ${\displaystyle \varphi }$

Este concepto puede extenderse a dos dimensiones, siendo sustituido el grupo por el llamado grupo de similitud del plano, que consta de traslaciones, rotaciones y dilataciones globales del plano. Las wavelets 2D resultantes, y algunas generalizaciones de las mismas, se utilizan ampliamente en el procesamiento de imágenes . ^[20] ${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$

Estados coherentes de Gilmore-Perelomov

La construcción de estados coherentes utilizando representaciones grupales descritas anteriormente no es suficiente. Ya no puede arrojar los CCS, ya que estos no están indexados por los elementos del grupo de Heisenberg , sino por puntos del cociente de este último por su centro, siendo ese cociente precisamente . La observación clave es que el centro del grupo de Heisenberg deja invariante el vector de vacío, hasta una fase. Generalizando esta idea, Gilmore y Perelomov ^{[12] [13] [14] [15]} consideran un grupo localmente compacto y una representación unitaria irreducible en el espacio de Hilbert , no necesariamente integrable al cuadrado. Fijar un vector en , de norma unitaria, y denotar por el subgrupo de formado por todos los elementos que lo dejan invariante hasta una fase , es decir, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle U(h)\left|\psi \right|\rangle =e^{i\omega (h)}\left|\psi \right\rangle \,,}$$

${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X=G/H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g(x)\in G}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle |x\rangle =U(g(x))\left|\psi \right\rangle \in {\mathfrak {H}}.}$$

estados coherentes de Gilmore-Perelomov ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)'\in G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)'=g(x)h}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \left|x\right\rangle \left\langle x\right|}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B=\int _{X}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)\,,}$$

Los estados coherentes de Gilmore-Perelomov se han generalizado a grupos cuánticos , pero para ello nos remitimos a la literatura. ^{[21] [22] [23] [24] [25] [26]}

Mayor generalización: estados coherentes en espacios laterales

La construcción de Perelomov se puede utilizar para definir estados coherentes para cualquier grupo localmente compacto. Por otro lado, particularmente en caso de fracaso de la construcción de Gilmore-Perelomov, existen otras construcciones de estados coherentes generalizados, que utilizan representaciones grupales, que generalizan la noción de integrabilidad cuadrada a espacios homogéneos del grupo. ^{[2] [3]}

Brevemente, en este enfoque se comienza con una representación unitaria irreducible e intenta encontrar un vector , un subgrupo y una sección tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$

$${\displaystyle \int _{G/H}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)=T\,,}$$

grupo de Poincarégrupo euclidiano ${\displaystyle |x\rangle =U(\sigma (x))\left|\psi \right\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle X=G/H}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rtimes K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |x\rangle }$

$${\displaystyle |\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,}$$

Estados coherentes: una construcción bayesiana para la cuantificación de un conjunto de medidas

Ahora nos apartamos de la situación estándar y presentamos un método general de construcción de estados coherentes, a partir de algunas observaciones sobre la estructura de estos objetos como superposiciones de estados propios de algún operador autoadjunto, como lo fue el oscilador armónico hamiltoniano para el CS estándar. . La esencia de la mecánica cuántica es que esta superposición tenga un sabor probabilístico. De hecho, notamos que la estructura probabilística de los estados coherentes canónicos involucra dos distribuciones de probabilidad que subyacen a su construcción. Hay, en una especie de dualidad, una distribución de Poisson que rige la probabilidad de detectar excitaciones cuando el sistema cuántico está en estado coherente , y una distribución gamma sobre el conjunto de parámetros complejos, más exactamente sobre el rango del cuadrado del radial. variable. La generalización sigue ese esquema de dualidad. Sea un conjunto de parámetros equipados con una medida y su espacio de Hilbert asociado de funciones de valores complejos, integrables al cuadrado con respecto a . Elijamos en un conjunto ortonormal finito o contable : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |z\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}}$

$${\displaystyle \langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.}$$

$${\displaystyle 0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.}$$

coherentes ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=I_{\mathfrak {H}}\,.}$$

estado coherenteuna cuantificación de cuadro ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\ni x\mapsto f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|.}$$

símbolo superiorclásicosímbolo inferior ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle A_{f}}$

$${\displaystyle {\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.}$$

${\displaystyle X}$

1. Para casi cada uno , una distribución discreta , ${\displaystyle x}$
   $${\displaystyle n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}}{{\mathcal {N}}(x)}}.}$$
   Esta probabilidad podría considerarse relativa a experimentos realizados en el sistema dentro de algún protocolo experimental, con el fin de medir los valores espectrales de un determinado operador autoadjunto , es decir, un observable cuántico , que actúa y tiene una resolución espectral discreta . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\textstyle A=\sum _{n}a_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|}$
2. Para cada uno , una distribución continua en , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$
   $${\displaystyle X\ni x\mapsto \vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,.}$$
   Aquí observamos una dualidad bayesiana típica de estados coherentes. Hay dos interpretaciones: la resolución de la unidad verificada por los estados coherentes introduce una medida previa preferida en el conjunto , que es el conjunto de parámetros de la distribución discreta, desempeñando esta distribución misma el papel de función de verosimilitud . Las distribuciones continuas discretamente indexadas asociadas se convierten en la distribución posterior condicional relacionada . Por lo tanto, un enfoque probabilístico de las observaciones experimentales debería servir como guía para elegir el conjunto de los . Observamos que la distribución previa continua será relevante para la cuantificación mientras que la posterior discreta caracteriza la medición del espectro físico a partir del cual se construye la superposición coherente de estados cuánticos . ^[1] ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle |e_{n}\rangle }$

Ver también

• Estados coherentes
• conjetura de lieb
• Cuantización

Referencias

1. JP. Gazeau, Estados coherentes en física cuántica , Wiley-VCH, Berlín, 2009.
2. ST Ali, JP. Antonio, JP. Gazeau y UA Mueller, Estados coherentes y sus generalizaciones: una descripción matemática, Reviews in Mathematical Physics 7 (1995) 1013-1104.
3. ST Ali, JP. Antoine y JP. Gazeau, Estados coherentes, Wavelets y sus generalizaciones , Springer-Verlag, Nueva York, Berlín, Heidelberg, 2000.
4. ST Ali, Estados coherentes, Enciclopedia de física matemática , págs. 537-545; Elsevier, Ámsterdam, 2006.
5. Barut, AO; Girardello, L. (1971). "Nuevos Estados "Coherentes" asociados a grupos no compactos". Comunicaciones en Física Matemática . 21 (1): 41–55. Código bibliográfico : 1971CMaPh..21...41B. doi :10.1007/bf01646483. ISSN  0010-3616. S2CID  122468207.
6. Gazeau, Jean-Pierre ; Klauder, John R (1 de enero de 1999). "Estados coherentes para sistemas de espectro discreto y continuo". Revista de Física A: Matemática y General . 32 (1): 123-132. Código Bib : 1999JPhA...32..123G. doi :10.1088/0305-4470/32/1/013. ISSN  0305-4470.
7. Ali, S. Twareque; Bagarello, F. (2005). "Algunas apariciones físicas de estados coherentes vectoriales y estados coherentes relacionados con hamiltonianos degenerados". Revista de Física Matemática . 46 (5): 053518. arXiv : quant-ph/0410151 . Código Bib : 2005JMP....46e3518T. doi :10.1063/1.1901343. ISSN  0022-2488. S2CID  19024789.
8. Hall, antes de Cristo (1994). "La transformación del" Estado coherente "de Segal-Bargmann para grupos compactos de mentiras". Revista de análisis funcional . 122 (1): 103-151. doi : 10.1006/jfan.1994.1064 . ISSN  0022-1236.
9. Stenzel, Mateo B. (1999). "La transformada de Segal-Bargmann en un espacio simétrico de tipo compacto" (PDF) . Revista de análisis funcional . 165 (1): 44–58. doi : 10.1006/jfan.1999.3396 . ISSN  0022-1236.
10. Salón, Brian C.; Mitchell, Jeffrey J. (2002). "Estados coherentes en esferas". Revista de Física Matemática . 43 (3): 1211-1236. arXiv : quant-ph/0109086 . Código Bib : 2002JMP....43.1211H. doi :10.1063/1.1446664. ISSN  0022-2488. S2CID  2990048.
11. Thiemann, Thomas (16 de mayo de 2001). "Estados coherentes de la teoría de campos de calibre (GCS): I. Propiedades generales". Gravedad clásica y cuántica . 18 (11): 2025-2064. arXiv : hep-th/0005233 . Código Bib : 2001CQGra..18.2025T. doi :10.1088/0264-9381/18/11/304. ISSN  0264-9381. S2CID  16699452.y otros artículos en la misma secuencia
12. AM Perelomov, Estados coherentes para grupos de mentiras arbitrarios, Commun. Matemáticas. Física. 26 (1972) 222–236; arXiv: math-ph/0203002.
13. A. Perelomov, Estados coherentes generalizados y sus aplicaciones , Springer, Berlín 1986.
14. Gilmore, Robert (1972). "Geometría de estados simetrizados". Anales de Física . 74 (2). Elsevier BV: 391–463. Código bibliográfico : 1972AnPhy..74..391G. doi :10.1016/0003-4916(72)90147-9. ISSN  0003-4916.
15. Gilmore, R. (1974). "Sobre propiedades de estados coherentes" (PDF) . Revista Mexicana de Física . 23 : 143–187.
16. Estado coherente en el n Lab
17. Onofri, Enrico (1975). "Una nota sobre representaciones estatales coherentes de los grupos de Lie". Revista de Física Matemática . 16 (5): 1087–1089. Código bibliográfico : 1975JMP....16.1087O. doi : 10.1063/1.522663. ISSN  0022-2488.
18. I. Daubechies, Diez conferencias sobre Wavelets , SIAM, Filadelfia, 1992.
19. SG Mallat, Un recorrido por el procesamiento de señales con Wavelet , 2ª ed., Academic Press, San Diego, 1999.
20. JP. Antoine, R. Murenzi, P. Vandergheynst y ST Ali, Wavelets bidimensionales y sus parientes , Cambridge University Press, Cambridge (Reino Unido), 2004.
21. Biedenharn, LC (21 de septiembre de 1989). "El grupo cuántico y un análogo de los operadores de bosones". Revista de Física A: Matemática y General . 22 (18): L873–L878. doi :10.1088/0305-4470/22/18/004. ISSN  0305-4470. ${\displaystyle SU_{q}(2)}$ ${\displaystyle q}$
22. Jurčo, Branislav (1991). "Sobre estados coherentes para los grupos cuánticos más simples". Letras en Física Matemática . 21 (1): 51–58. Código bibliográfico : 1991LMaPh..21...51J. doi :10.1007/bf00414635. ISSN  0377-9017. S2CID  121389100.
23. Celeghini, E.; Rasetti, M.; Vitiello, G. (22 de abril de 1991). "Grupos exprimidores y cuánticos". Cartas de revisión física . 66 (16): 2056-2059. Código bibliográfico : 1991PhRvL..66.2056C. doi :10.1103/physrevlett.66.2056. ISSN  0031-9007. PMID  10043380.
24. Sazdjian, Hagop; Stanev, Yassen S.; Todorov, Ivan T. (1995). " Operadores de estado coherentes y funciones de correlación invariantes y sus contrapartes de grupos cuánticos". Revista de Física Matemática . 36 (4): 2030-2052. arXiv : hep-th/9409027 . doi : 10.1063/1.531100. ISSN  0022-2488. S2CID  18220520. ${\displaystyle SU_{3}}$
25. Jurĉo, B.; Ŝťovíĉek, P. (1996). "Estados coherentes para grupos compactos cuánticos". Comunicaciones en Física Matemática . 182 (1): 221–251. arXiv : hep-th/9403114 . Código Bib : 1996CMaPh.182..221J. doi :10.1007/bf02506391. ISSN  0010-3616. S2CID  18018973.
26. Škoda, Zoran (22 de junio de 2007). "Estados coherentes para álgebras de Hopf". Letras en Física Matemática . 81 (1): 1–17. arXiv : matemáticas/0303357 . Código Bib : 2007LMaPh..81....1S. doi :10.1007/s11005-007-0166-y. ISSN  0377-9017. S2CID  8470932.