Álgebra de Łukasiewicz-Moisil

Las álgebras de Łukasiewicz-Moisil ( álgebras LM _n ) fueron introducidas en la década de 1940 por Grigore Moisil (inicialmente bajo el nombre de álgebras de Łukasiewicz ^[1] ) con la esperanza de proporcionar una semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz con valores n . Sin embargo, en 1956 Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, el álgebra de Łukasiewicz-Moisil no modela la lógica de Łukasiewicz. Un modelo fiel para la lógica de Łukasiewicz-Tarski con valores de ℵ ₀ (infinitos) fue proporcionado por el álgebra MV de CC Chang , introducido en 1958. Para las lógicas de Łukasiewicz axiomáticamente más complicadas (finitas) con valores de n , adecuadas Las álgebras fueron publicadas en 1977 por Revaz Grigolia y llamadas MV n -álgebras . ^[2] _{Las n} -álgebras de MV son una subclase de _{las n} -álgebras de LM, y la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[3] En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que sumadas a _{las n} -álgebras de LM producen modelos adecuados para n - valoró la lógica de Łukasiewicz; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras propias de Łukasiewicz . ^[4]

Moisil, sin embargo, publicó en 1964 una lógica que coincidía con su álgebra (en el caso general n ≥ 5), ahora llamada lógica de Moisil . ^[2] Después de entrar en contacto con la lógica difusa de Zadeh , en 1968 Moisil también introdujo una variante lógica de valores infinitos y sus correspondientes álgebras LM _θ . ^[5] Aunque la implicación de Łukasiewicz no se puede definir en un álgebra LM _n para n ≥ 5, la implicación de Heyting puede ser, es decir, las álgebras LM _n son álgebras de Heyting ; Como resultado, las lógicas de Moisil también pueden desarrollarse (desde un punto de vista puramente lógico) en el marco de la lógica intuicionista de Brower . ^[6]

Definición

Un álgebra LM _n es un álgebra de De Morgan (una noción también introducida por Moisil) con n -1 operaciones "modales" unarias adicionales: , es decir, un álgebra de firma donde J = { 1, 2, ... n -1 } . (Algunas fuentes indican los operadores adicionales para enfatizar que dependen del orden n del álgebra. ^[7] ) Los operadores unarios adicionales ∇ _j deben satisfacer los siguientes axiomas para todo x , y ∈ A y j , k ∈ J : ^[3] ${\displaystyle \nabla _{1},\ldots ,\nabla _{n-1}}$ ${\displaystyle (A,\vee ,\wedge ,\neg ,\nabla _{j\in J},0,1)}$ ${\displaystyle \nabla _{j\in J}^{n}}$

1. ${\displaystyle \nabla _{j}(x\vee y)=(\nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)}$
2. ${\displaystyle \nabla _{j}\;x\vee \neg \nabla _{j}\;x=1}$
3. ${\displaystyle \nabla _{j}(\nabla _{k}\;x)=\nabla _{k}\;x}$
4. ${\displaystyle \nabla _{j}\neg x=\neg \nabla _{n-j}\;x}$
5. ${\displaystyle \nabla _{1}\;x\leq \nabla _{2}\;x\cdots \leq \nabla _{n-1}\;x}$
6. si para todo j ∈ J , entonces x = y . ${\displaystyle \nabla _{j}\;x=\nabla _{j}\;y}$

(El adjetivo "modal" está relacionado con el programa [finalmente fallido] de Tarksi y Łukasiewicz para axiomatizar la lógica modal utilizando lógica multivaluada).

Propiedades elementales

Los duales de algunos de los axiomas anteriores se siguen como propiedades: ^[3]

• ${\displaystyle \nabla _{j}(x\wedge y)=(\nabla _{j}\;x)\wedge (\nabla _{j}\;y)}$
• ${\displaystyle \nabla _{j}\;x\wedge \neg \nabla _{j}\;x=0}$

Además: y . ^[3] En otras palabras, las operaciones "modales" unarias son endomorfismos reticulares . ^[6] ${\displaystyle \nabla _{j}\;0=0}$ ${\displaystyle \nabla _{j}\;1=1}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$

Ejemplos

Las álgebras LM ₂ son las álgebras de Boole . El álgebra canónica de Łukasiewicz que Moisil tenía en mente estaba sobre el conjunto con negación, conjunción y disyunción y los operadores "modales" unarios: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=\{0,\ {\frac {1}{n-1}},{\frac {2}{n-1}},...,{\frac {n-2}{n-1}}\ ,1\}}$ ${\displaystyle \neg x=1-x}$ ${\displaystyle x\wedge y=\min\{x,y\}}$ ${\displaystyle x\vee y=\max\{x,y\}}$

${\displaystyle \nabla _{j}\left({\frac {i}{n-1}}\right)=\;{\begin{cases}0&{\mbox{if }}i+j<n\\1&{\mbox{if }}i+j\geq n\\\end{cases}}\quad i\in \{0\}\cup J,\;j\in J.}$

Si B es un álgebra booleana, entonces el álgebra sobre el conjunto B ^[2] ≝ {( x , y ) ∈ B × B | x ≤ y } con las operaciones de red definidas puntualmente y con ¬( x , y ) ≝ (¬ y , ¬ x ), y con los operadores unarios "modales" ∇ ₂ ( x , y ) ≝ ( y , y ) y ∇ ₁ ( x , y ) = ¬∇ ₂ ¬( x , y ) = ( x , x ) [derivado por el axioma 4] es un álgebra de Łukasiewicz de tres valores. ^[7]

Representación

Moisil demostró que cada álgebra LM _n puede integrarse en un producto directo (de copias) del álgebra canónica. Como corolario, cada álgebra LM _n es un producto subdirecto de subálgebras de . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$

La implicación de Heyting se puede definir como: ^[6]

${\displaystyle x\Rightarrow y\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;y\vee \bigwedge _{j\in J}(\neg \nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)}$

Antonio Monteiro demostró que para cada álgebra booleana monádica se puede construir un álgebra trivalente de Łukasiewicz (tomando ciertas clases de equivalencia) y que cualquier álgebra trivalente de Łukasiewicz es isomorfa a un álgebra de Łukasiewicz derivada de un álgebra booleana monádica. ^{[7] [8]} Cignoli resume la importancia de este resultado como: "Dado que Halmos demostró que las álgebras booleanas monádicas son la contraparte algebraica del cálculo monádico clásico de primer orden, Monteiro consideró que la representación de álgebras de Łukasiewicz de tres valores en monádicas El álgebra booleana demuestra la coherencia de la lógica trivalente de Łukasiewicz en relación con la lógica clásica." ^[7]

Referencias

1. Andrei Popescu, Álgebras de relaciones de Łukasiewicz-Moisil , Studia Logica , vol. 81, núm. 2 (noviembre de 2005), págs. 167-189
2. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de valores múltiples no conmutativas . Saltador. págs. vii-viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
3. Iorgulescu, A.: Conexiones entre MV _n -álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas—I. Matemáticas discretas. 181, 155–177 (1998) doi :10.1016/S0012-365X(97)00052-6
4. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valores n adecuados como álgebras S de cálculos proposicionales con valores n de Łukasiewicz , Studia Logica, 41, 1982, 3–16, doi :10.1007/BF00373490
5. Georgescu, G., Iourgulescu, A., Rudeanu, S.: "Grigore C. Moisil (1906-1973) y su escuela de lógica algebraica". Revista internacional de computadoras, comunicaciones y control 1, 81–99 (2006)
6. Georgescu, G. (2006). "Lógicas con valores N y álgebras de Łukasiewicz-Moisil". Axiomatas . 16 (1–2): 123–136. doi :10.1007/s10516-005-4145-6., Teorema 3.6
7. Cignoli, R., "Las álgebras de la lógica multivaluada de Lukasiewicz: una descripción histórica", en S. Aguzzoli et al. (Eds.), Aspectos algebraicos y teóricos de la prueba de la lógica no clásica, LNAI 4460, Springer , 2007, 69-83. doi :10.1007/978-3-540-75939-3_5
8. Monteiro, António "Sur les algèbres de Heyting symétriques". Portugaliae Mathematica 39.1–4 (1980): 1–237. Capítulo 7. págs. 204-206

Otras lecturas

• Raymond Balbés; Philip Dwinger (1975). Redes distributivas . Prensa de la Universidad de Missouri. Capítulo IX. Álgebras de De Morgan y Álgebras de Lukasiewicz. ISBN 978-0-8262-0163-8.
• Boicescu, V., Filipoiu, A., Georgescu, G., Rudeanu, S.: Łukasiewicz-Moisil Algebras. Holanda Septentrional, Ámsterdam (1991) ISBN 0080867898 
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre MV _n -álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas—II. Matemáticas discretas. 202, 113–134 (1999) doi :10.1016/S0012-365X(98)00289-1
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre MV _n -álgebras y Łukasiewicz-Moisil con valores n —III. Manuscrito inédito
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre MV _n -álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas—IV. J. Univers. Computadora. Ciencia. 6, 139–154 (2000) doi :10.3217/jucs-006-01-0139
• R. Cignoli, Álgebras de Moisil de orden n, Ph.D. Tesis, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, 1969
• http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424