Un orden de magnitud es una aproximación del logaritmo de un valor en relación con algún valor de referencia entendido contextualmente, generalmente 10, interpretado como la base del logaritmo y el representante de valores de magnitud uno. Las distribuciones logarítmicas son de naturaleza común y considerar el orden de magnitud de los valores muestreados de dicha distribución puede resultar más intuitivo. Cuando el valor de referencia es 10, el orden de magnitud puede entenderse como el número de dígitos en la representación en base 10 del valor. De manera similar, si el valor de referencia es una de algunas potencias de 2, dado que las computadoras almacenan datos en formato binario , la magnitud puede entenderse en términos de la cantidad de memoria de la computadora necesaria para almacenar ese valor.
Las diferencias en orden de magnitud se pueden medir en una escala logarítmica de base 10 en " décadas " (es decir, factores de diez). [1] Se pueden encontrar ejemplos de números de diferentes magnitudes en Órdenes de magnitud (números) .
Generalmente, el orden de magnitud de un número es la potencia más pequeña de 10 utilizada para representar ese número. [2] Para calcular el orden de magnitud de un número , el número primero se expresa de la siguiente forma:
donde , o aproximadamente . Entonces, representa el orden de magnitud del número. El orden de magnitud puede ser cualquier número entero . La siguiente tabla enumera el orden de magnitud de algunos números a la luz de esta definición:
La media geométrica de y es , lo que significa que un valor de exactamente (es decir, ) representa un punto medio geométrico dentro del rango de valores posibles de .
Algunos usan una definición más simple donde , [3] quizás porque la media aritmética y los enfoques para aumentar . [ cita necesaria ] Esta definición tiene el efecto de reducir ligeramente los valores de:
Los órdenes de magnitud se utilizan para hacer comparaciones aproximadas. Si los números difieren en un orden de magnitud, x es aproximadamente diez veces diferente en cantidad que y . Si los valores difieren en dos órdenes de magnitud, difieren en un factor de aproximadamente 100. Dos números del mismo orden de magnitud tienen aproximadamente la misma escala: el valor mayor es menos de diez veces el valor menor. Las crecientes cantidades de datos de Internet han llevado a la adición de nuevos prefijos SI con el tiempo, la última vez en 2022. [4]
El orden de magnitud de un número es, intuitivamente hablando, el número de potencias de 10 contenidas en el número. Más precisamente, el orden de magnitud de un número puede definirse en términos del logaritmo común , generalmente como la parte entera del logaritmo, obtenida por truncamiento . [ contradictorio ] Por ejemplo, el número4.000.000 tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602 ; su orden de magnitud es 6. Al truncarse, un número de este orden de magnitud está entre 10 6 y 10 7 . En un ejemplo similar, con la frase "ingresos de siete cifras", el orden de magnitud es el número de cifras menos uno, por lo que es muy fácil determinar sin calculadora que es 6. Un orden de magnitud es una posición aproximada en una escala logarítmica .
Una estimación del orden de magnitud de una variable, cuyo valor preciso se desconoce, es una estimación redondeada a la potencia de diez más cercana. Por ejemplo, una estimación de orden de magnitud para una variable entre aproximadamente 3 mil millones y 30 mil millones (como la población humana de la Tierra ) es 10 mil millones . Para redondear un número a su orden de magnitud más cercano, se redondea su logaritmo al número entero más cercano. De este modo4 000 000 , que tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602, tiene 7 como su orden de magnitud más cercano, porque "más cercano" implica redondeo en lugar de truncamiento. Para un número escrito en notación científica, esta escala de redondeo logarítmico requiere redondear hacia arriba a la siguiente potencia de diez cuando el multiplicador es mayor que la raíz cuadrada de diez (aproximadamente 3,162). Por ejemplo, el orden de magnitud más cercano para1,7 × 10 8 es 8, mientras que el orden de magnitud más cercano para3,7 × 10 8 es 9. Una estimación de orden de magnitud a veces también se denomina aproximación de orden cero .
Una diferencia de orden de magnitud entre dos valores es un factor de 10. Por ejemplo, la masa del planeta Saturno es 95 veces la de la Tierra , por lo que Saturno es dos órdenes de magnitud más masivo que la Tierra. Las diferencias de orden de magnitud se denominan décadas cuando se miden en una escala logarítmica .
Se pueden calcular otros órdenes de magnitud utilizando bases distintas de 10. Los antiguos griegos clasificaron el brillo nocturno de los cuerpos celestes en 6 niveles en los que cada nivel era la quinta raíz de cien (aproximadamente 2,512), tan brillante como el nivel de brillo más débil más cercano. , [ cita necesaria ] y, por lo tanto, que el nivel más brillante sea 5 órdenes de magnitud más brillante que el más débil indica que es (100 1/5 ) 5 o un factor de 100 veces más brillante. Sin embargo, la versión modernizada se ha convertido en una escala logarítmica con valores no enteros.
Los diferentes sistemas de numeración decimal del mundo utilizan una base más grande para visualizar mejor el tamaño del número y han creado nombres para las potencias de esta base más grande. La tabla muestra a qué número apunta el orden de magnitud para base 10 y para base1 000 000 . Se puede ver que el orden de magnitud está incluido en el nombre del número en este ejemplo, porque bi- significa 2 y tri- significa 3 (estos tienen sentido sólo en la escala larga), y el sufijo -illón indica que la base es1 000 000 . Pero los nombres de números miles de millones, billones en sí mismos (aquí con un significado diferente al del primer capítulo) no son nombres de órdenes de magnitudes, son nombres de "magnitudes", es decir, los números. 1.000.000.000.000 , etc. _ _ _
Las unidades SI de la tabla de la derecha se utilizan junto con los prefijos SI , que se idearon principalmente con magnitudes de base 1000 en mente. Los prefijos estándar IEC con base 1024 se inventaron para su uso en tecnología electrónica.
Para números extremadamente grandes , un orden de magnitud generalizado puede basarse en su doble logaritmo o superlogaritmo . Redondearlos hacia abajo a un número entero da categorías entre "números redondos", redondearlos al número entero más cercano y aplicar la función inversa da el número redondo "más cercano".
El doble logaritmo produce las categorías:
(los dos primeros mencionados, y la extensión hacia la izquierda, pueden no ser muy útiles, simplemente demuestran cómo la secuencia continúa matemáticamente hacia la izquierda).
El superlogaritmo produce las categorías:
Los "puntos medios" que determinan qué número redondo está más cerca son en el primer caso:
y, dependiendo del método de interpolación, en el segundo caso
Para números extremadamente pequeños (en el sentido de cercanos a cero), ningún método es adecuado directamente, pero se puede considerar el orden generalizado de magnitud del recíproco .
De manera similar a la escala logarítmica, se puede tener una escala logarítmica doble (se proporciona un ejemplo aquí ) y una escala superlogarítmica. Los intervalos tienen sobre todo la misma longitud, estando los "puntos medios" en realidad en el medio. De manera más general, un punto intermedio entre dos puntos corresponde a la f -media generalizada con f ( x ) la función correspondiente log log x o slog x . En el caso de log log x , esta media de dos números (por ejemplo, 2 y 16 dan 4) no depende de la base del logaritmo, al igual que en el caso de log x ( media geométrica , 2 y 8 dan 4), pero a diferencia del caso de log log log x (4 y65 536 dando 16 si la base es 2, pero no en caso contrario).
Los físicos e ingenieros utilizan la frase "orden de magnitud" para referirse a la potencia más pequeña de diez necesaria para representar una cantidad.
