Logaritmo

Mathematical function, inverse of an exponential function

Gráficas de funciones logarítmicas, con tres bases de uso común. Los puntos especiales log _b  b = 1 se indican con líneas de puntos y todas las curvas se intersecan en log _b  1 = 0 .

En matemáticas , el logaritmo en base b es la función inversa de la potenciación en base b . Esto significa que el logaritmo de un número  x en base  b es el exponente al que se debe elevar b para obtener x . Por ejemplo, dado que 1000 = 10 ³ , la base del logaritmo  de 1000 es 3 , o log ₁₀  (1000) = 3. El logaritmo de x en base b se denota como log _b  ( x ) o, sin paréntesis, log _b x . Cuando la base está clara en el contexto o es irrelevante, a veces se escribe log  x . ${\displaystyle 10}$  

El logaritmo de base 10 se denomina logaritmo decimal o común y se utiliza habitualmente en ciencias e ingeniería. El logaritmo natural tiene  como base el número e ≈ 2,718 ; su uso está muy extendido en matemáticas y física debido a su derivada muy simple . El logaritmo binario utiliza base 2 y se utiliza con frecuencia en informática .

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 como un medio para simplificar los cálculos. ^[1] Fueron rápidamente adoptados por navegantes , científicos, ingenieros, topógrafos y otros para realizar cálculos de alta precisión con mayor facilidad. Usando tablas de logaritmos , los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos pueden reemplazarse por búsquedas en tablas y sumas más simples. Esto es posible porque el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores: siempre que b , x e y sean todos positivos y b ≠ 1. La regla de cálculo , también basada en logaritmos, permite cálculos rápidos sin tablas, pero con menor precisión. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler , quien los relacionó con la función exponencial en el siglo XVIII, y quien también introdujo la letra e como la base de los logaritmos naturales. ^[2] $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

Las escalas logarítmicas reducen cantidades de amplio alcance a ámbitos más pequeños. Por ejemplo, el decibel (dB) es una unidad utilizada para expresar proporciones como logaritmos , principalmente para la potencia y amplitud de la señal (de las cuales la presión sonora es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa . Los logaritmos son comunes en las fórmulas científicas y en las mediciones de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales . Ayudan a describir las proporciones de frecuencia de los intervalos musicales , aparecen en fórmulas que cuentan números primos o aproximan factoriales , informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense .

El concepto de logaritmo como la inversa de la exponenciación se extiende también a otras estructuras matemáticas. Sin embargo, en contextos generales, el logaritmo tiende a ser una función de múltiples valores. Por ejemplo, el logaritmo complejo es la inversa de múltiples valores de la función exponencial compleja. De manera similar, el logaritmo discreto es la inversa de múltiples valores de la función exponencial en grupos finitos; tiene usos en criptografía de clave pública .

Motivación

La gráfica del logaritmo en base 2 cruza el eje x en x = 1 y pasa por los puntos (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) , representando, por ejemplo, log ₂ (8) = 3 y 2 ³ = 8. La gráfica se acerca arbitrariamente al eje y , pero no lo alcanza .

La suma , la multiplicación y la potenciación son tres de las operaciones aritméticas más fundamentales. La inversa de la suma es la resta y la inversa de la multiplicación es la división . De manera similar, un logaritmo es la operación inversa de la potenciación . La exponenciación es cuando un número b , la base , se eleva a una cierta potencia y , el exponente , para dar un valor x ; esto se denota Por ejemplo, elevar 2 a la potencia de 3 da 8 : $${\displaystyle b^{y}=x.}$$ ${\displaystyle 2^{3}=8.}$

El logaritmo de base b es la operación inversa, que proporciona la salida y a partir de la entrada x . Es decir, es equivalente a si b es un número real positivo . (Si b no es un número real positivo, se pueden definir tanto la exponenciación como el logaritmo, pero pueden tomar varios valores, lo que hace que las definiciones sean mucho más complicadas). ${\displaystyle y=\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=b^{y}}$

Una de las principales motivaciones históricas para la introducción de los logaritmos es la fórmula mediante la cual las tablas de logaritmos permiten reducir la multiplicación y la división a suma y resta, una gran ayuda para los cálculos antes de la invención de las computadoras. $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

Definición

Dado un número real positivo b tal que b ≠ 1 , el logaritmo de un número real positivo x con respecto a la base  b ^{[nb 1]} es el exponente por el cual b debe ser elevado para obtener x . En otras palabras, el logaritmo de x en base  b es el único número real  y tal que . ^[3] ${\displaystyle b^{y}=x}$

El logaritmo se denota " log _b  x " (pronunciado como "el logaritmo de x en base  b ", "el logaritmo en base b de x " o, más comúnmente, "el logaritmo, base  b , de x ").

Una definición equivalente y más concisa es que la función log _b es la función inversa de la función . ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$

Ejemplos

• log ₂  16 = 4 , ya que 2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• Los logaritmos también pueden ser negativos: ya que ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$ ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀  150 es aproximadamente 2,176, que se encuentra entre 2 y 3, así como 150 se encuentra entre 10 ² = 100 y 10 ³ = 1000 .
• Para cualquier base  b , log _b  b = 1 y log _b  1 = 0 , ya que b ¹ = b y b ⁰ = 1 , respectivamente.

Identidades logarítmicas

Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas , relacionan los logaritmos entre sí. ^[4]

Producto, cociente, potencia y raíz

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p  por el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una p -ésima raíz es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de la sustitución de las definiciones de logaritmo o en los lados izquierdos. ${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$ ${\displaystyle y=b^{\,\log _{b}y}}$

Cambio de base

El logaritmo log _b  x se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria  k utilizando la siguiente fórmula: ^{[nb 2]} $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en base 10 y e . ^[5] Los logaritmos con respecto a cualquier base  b se pueden determinar utilizando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior: $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

Dado un número x y su logaritmo y = log _b  x en base desconocida  b , la base viene dada por:

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

lo cual se puede ver al elevar la ecuación definitoria a la potencia de ${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

Bases particulares

Gráficas superpuestas del logaritmo para bases 1 /2⁠ , 2, y e

Entre todas las opciones para la base, tres son particularmente comunes. Estas son b = 10 , b = e (la constante matemática irracional e ≈ 2,71828183 ) y b = 2 (el logaritmo binario ). En el análisis matemático , el logaritmo base e está muy extendido debido a las propiedades analíticas que se explican a continuación. Por otro lado, los logaritmos de base 10 (el logaritmo común ) son fáciles de usar para cálculos manuales en el sistema numérico decimal : ^[6]

$${\displaystyle \log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.}$$

Por lo tanto, log ₁₀  ( x ) está relacionado con el número de dígitos decimales de un entero positivo x : El número de dígitos es el entero más pequeño estrictamente mayor que log ₁₀  ( x ) . ^[7] Por ejemplo, log ₁₀ (5986) es aproximadamente 3,78 . El siguiente entero por encima es 4, que es el número de dígitos de 5986. Tanto el logaritmo natural como el logaritmo binario se utilizan en la teoría de la información , lo que corresponde al uso de nats o bits como unidades fundamentales de información, respectivamente. ^[8] Los logaritmos binarios también se utilizan en informática , donde el sistema binario es omnipresente; en teoría musical , donde una relación de tono de dos (la octava ) es omnipresente y el número de centavos entre dos tonos cualesquiera es una versión escalada del logaritmo binario, o log 2 por 1200, de la relación de tono (es decir, 100 centavos por semitono en temperamento igual convencional ), o equivalentemente el log base 2 ^1/1200  ; y en fotografía se utilizan logaritmos base 2 reescalados para medir valores de exposición , niveles de luz , tiempos de exposición , aperturas de lentes y velocidades de película en "pasos". ^[9]

La abreviatura log  x se utiliza a menudo cuando la base prevista se puede inferir en función del contexto o la disciplina, o cuando la base es indeterminada o inmaterial. Los logaritmos comunes (base 10), utilizados históricamente en tablas de logaritmos y reglas de cálculo, son una herramienta básica para la medición y el cálculo en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería; en estos contextos, log  x todavía suele significar el logaritmo de base diez. ^[10] En matemáticas, log  x suele significar logaritmo natural (base e ). ^{[11] [12]} En informática y teoría de la información, log suele referirse a logaritmos binarios (base 2). La siguiente tabla enumera las notaciones comunes para los logaritmos de estas bases. La columna "Notación ISO" enumera las designaciones sugeridas por la Organización Internacional de Normalización . ^[13]

Historia

La historia de los logaritmos en la Europa del siglo XVII vio el descubrimiento de una nueva función que extendió el ámbito del análisis más allá del alcance de los métodos algebraicos. El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción del maravilloso canon de los logaritmos ). ^{[19] [20]} Antes de la invención de Napier, habían existido otras técnicas de alcances similares, como la prostaféresis o el uso de tablas de progresiones, ampliamente desarrolladas por Jost Bürgi alrededor de 1600. ^{[21] [22]} Napier acuñó el término para logaritmo en latín medio, logarithmus , que literalmente significa ' número-razón ' , derivado del griego logos ' proporción, razón, palabra ' + arithmos ' número ' .

El logaritmo común de un número es el índice de la potencia de diez que es igual al número. ^[23] Hablar de un número que requiere tantas cifras es una alusión aproximada al logaritmo común, y Arquímedes se refirió a él como el "orden de un número". ^[24] Los primeros logaritmos reales fueron métodos heurísticos para convertir la multiplicación en suma, facilitando así el cálculo rápido. Algunos de estos métodos utilizaban tablas derivadas de identidades trigonométricas. ^[25] Dichos métodos se denominan prostaféresis .

La invención de la función que ahora se conoce como logaritmo natural comenzó como un intento de realizar una cuadratura de una hipérbola rectangular por parte de Grégoire de Saint-Vincent , un jesuita belga residente en Praga. Arquímedes había escrito La cuadratura de la parábola en el siglo III a. C., pero una cuadratura para la hipérbola eludió todos los esfuerzos hasta que Saint-Vincent publicó sus resultados en 1647. La relación que proporciona el logaritmo entre una progresión geométrica en su argumento y una progresión aritmética de valores, impulsó a AA de Sarasa a hacer la conexión de la cuadratura de Saint-Vincent y la tradición de los logaritmos en prostaféresis , lo que llevó al término "logaritmo hiperbólico", un sinónimo de logaritmo natural. Pronto la nueva función fue apreciada por Christiaan Huygens y James Gregory . La notación Log y fue adoptada por Leibniz en 1675, ^[26] y al año siguiente la conectó con la integral ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

Antes de que Euler desarrollara su concepción moderna de los logaritmos naturales complejos, Roger Cotes tuvo un resultado casi equivalente cuando demostró en 1714 que ^[27] $${\displaystyle \log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .}$$

Tablas de logaritmos, reglas de cálculo y aplicaciones históricas

La explicación de los logaritmos de la Enciclopedia Británica de 1797

Al simplificar cálculos difíciles antes de que existieran calculadoras y computadoras, los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, especialmente de la astronomía . Fueron fundamentales para los avances en topografía , navegación astronómica y otros dominios. Pierre-Simon Laplace llamó a los logaritmos

"...un admirable artificio que, reduciendo a unos pocos días el trabajo de muchos meses, duplica la vida del astrónomo y le ahorra los errores y el disgusto inseparables de los largos cálculos". ^[28]

Como la función f ( x ) = b ^x es la función inversa de log _b  x , se la ha denominado antilogaritmo . ^[29] Hoy en día, esta función se denomina más comúnmente función exponencial .

Tablas de registro

Una herramienta clave que permitió el uso práctico de los logaritmos fue la tabla de logaritmos . ^[30] La primera tabla de este tipo fue compilada por Henry Briggs en 1617, inmediatamente después de la invención de Napier pero con la innovación de usar 10 como base. La primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los números enteros en el rango de 1 a 1000, con una precisión de 14 dígitos. Posteriormente, se escribieron tablas con un alcance creciente. Estas tablas enumeraban los valores de log ₁₀  x para cualquier número  x en un cierto rango, con una cierta precisión. Los logaritmos de base 10 se usaron universalmente para el cálculo, de ahí el nombre de logaritmo común, ya que los números que difieren en factores de 10 tienen logaritmos que difieren en números enteros. El logaritmo común de x se puede separar en una parte entera y una parte fraccionaria , conocidas como característica y mantisa . Las tablas de logaritmos solo necesitan incluir la mantisa, ya que la característica se puede determinar fácilmente contando dígitos a partir del punto decimal. ^[31] La característica de 10 · x es uno más la característica de x , y sus mantisas son las mismas. Por lo tanto, utilizando una tabla de logaritmos de tres dígitos, el logaritmo de 3542 se aproxima mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

Se puede obtener una mayor precisión mediante la interpolación :

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

El valor de 10 ^x se puede determinar mediante una búsqueda inversa en la misma tabla, ya que el logaritmo es una función monótona .

Cálculos

El producto y el cociente de dos números positivos c y d se calculaban rutinariamente como la suma y la diferencia de sus logaritmos. El producto  cd o cociente  c / d se obtenía al buscar el antilogaritmo de la suma o la diferencia, a través de la misma tabla:

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$y $${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

Para los cálculos manuales que exigen una precisión apreciable, realizar las búsquedas de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación mediante métodos anteriores, como la prostaféresis , que se basa en identidades trigonométricas .

Los cálculos de potencias y raíces se reducen a multiplicaciones o divisiones y búsquedas mediante $${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

y $${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

Los cálculos trigonométricos se facilitaron mediante tablas que contenían los logaritmos comunes de las funciones trigonométricas .

Reglas de cálculo

Otra aplicación fundamental fue la regla de cálculo , un par de escalas divididas logarítmicamente que se utilizaban para realizar cálculos. La escala logarítmica no deslizante, la regla de Gunter , se inventó poco después de la invención de Napier. William Oughtred la mejoró para crear la regla de cálculo, un par de escalas logarítmicas móviles una con respecto a la otra. Los números se colocan en escalas deslizantes a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior de forma adecuada equivale a sumar mecánicamente los logaritmos, como se ilustra aquí:

Representación esquemática de una regla de cálculo. Partiendo del 2 en la escala inferior, se suma la distancia hasta el 3 en la escala superior para obtener el producto 6. La regla de cálculo funciona porque está marcada de forma que la distancia de 1 a x es proporcional al logaritmo de x .

Por ejemplo, si se suma la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. La regla de cálculo fue una herramienta de cálculo esencial para ingenieros y científicos hasta la década de 1970, porque permite, a expensas de la precisión, un cálculo mucho más rápido que las técnicas basadas en tablas. ^[32]

Propiedades analíticas

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función . Una función es una regla que, dado un número, produce otro número. ^[33] Un ejemplo es la función que produce la x -ésima potencia de b a partir de cualquier número real  x , donde la base  b es un número fijo. Esta función se escribe como f ( x ) = b ^x . Cuando b es positivo y distinto de 1, mostramos a continuación que f es invertible cuando se considera como una función de los números reales a los reales positivos.

Existencia

Sea b un número real positivo distinto de 1 y sea f ( x ) = b ^x .

Es un resultado estándar en el análisis real que cualquier función continua estrictamente monótona es biyectiva entre su dominio y rango. Este hecho se desprende del teorema del valor intermedio . ^[34] Ahora bien, f es estrictamente creciente (para b > 1 ), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1 ), ^[35] es continua, tiene dominio , y tiene rango . Por lo tanto, f es una biyección de a . En otras palabras, para cada número real positivo y , hay exactamente un número real x tal que . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle b^{x}=y}$

Denotemos la inversa de f . Es decir, log _b y es el único número real x tal que . Esta función se denomina función logarítmica en base b o función logarítmica (o simplemente logaritmo ). ${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$  ${\displaystyle b^{x}=y}$

Caracterización por la fórmula del producto

La función log _b  x también se puede caracterizar esencialmente por la fórmula del producto. Más precisamente, el logaritmo en cualquier base b > 1 es la única función creciente f de los reales positivos a los reales que satisface f ( b ) = 1 y ^[36] $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$ $${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

Gráfica de la función logaritmo

La gráfica de la función logaritmo log _b  ( x ) (azul) se obtiene reflejando la gráfica de la función b ^x (roja) en la línea diagonal ( x = y ).

Como se discutió anteriormente, la función log _b es la inversa de la función exponencial . Por lo tanto, sus gráficos se corresponden entre sí al intercambiar las coordenadas x e y (o al reflexionar en la línea diagonal x = y ), como se muestra a la derecha: un punto ( t , u = b ^t ) en el gráfico de f produce un punto ( u , t = log _b u ) en el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log _b  ( x ) diverge a infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x crece a infinito, siempre que b sea mayor que uno. En ese caso, log _b ( x ) es una función creciente . Para b < 1 , log _b  ( x ) tiende a menos infinito en su lugar. Cuando x se acerca a cero, log _b x tiende a menos infinito para b > 1 (más infinito para b < 1 , respectivamente). ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$   

Derivada y antiderivada

La gráfica del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1,5 (negra)

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. ^[34] Por lo tanto, como f ( x ) = b ^x es una función continua y diferenciable , también lo es log _b  y . En términos generales, una función continua es diferenciable si su gráfica no tiene "esquinas" agudas. Además, como la derivada de f ( x ) se evalúa como ln( b ) b ^x por las propiedades de la función exponencial , la regla de la cadena implica que la derivada de log _b  x está dada por ^{[35] [37]} Es decir, la pendiente de la tangente que toca la gráfica del logaritmo de base b en el punto ( x , log _b  ( x )) es igual a 1/( x  ln( b )) . $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

La derivada de ln( x ) es 1/ x ; esto implica que ln( x ) es la única antiderivada de 1/ x que tiene el valor 0 para x = 1 . Es esta fórmula tan simple la que motivó a calificar como "natural" al logaritmo natural; esta es también una de las principales razones de la importancia de la constante  e .

La derivada con un argumento funcional generalizado f ( x ) es El cociente en el lado derecho se llama derivada logarítmica de f . Calcular f' ( x ) por medio de la derivada de ln( f ( x )) se conoce como diferenciación logarítmica . ^[38] La antiderivada del logaritmo natural ln( x ) es: ^[39] Las fórmulas relacionadas , como las antiderivadas de logaritmos a otras bases, se pueden derivar de esta ecuación utilizando el cambio de bases. ^[40] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$ $${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

Representación integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t es el área sombreada debajo del gráfico de la función f ( x ) = 1/ x (recíproco de x ).

El logaritmo natural de t se puede definir como la integral definida :

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$Esta definición tiene la ventaja de que no depende de la función exponencial ni de ninguna función trigonométrica; la definición está en términos de una integral de un recíproco simple. Como integral, ln( t ) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/ x , que va desde x = 1 hasta x = t . Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln( x ) es 1/ x . Las fórmulas del producto y del logaritmo de potencia se pueden derivar de esta definición. ^[41] Por ejemplo, la fórmula del producto ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) se deduce como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

La igualdad (1) divide la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x / t ). En la ilustración siguiente, la división corresponde a dividir el área en las partes amarilla y azul. Reescalar el área azul de la izquierda verticalmente por el factor  t y reducirla por el mismo factor horizontalmente no cambia su tamaño. Al moverla adecuadamente, el área se ajusta nuevamente al gráfico de la función f ( x ) = 1/ x . Por lo tanto, el área azul de la izquierda, que es la integral de f ( x ) de t a tu es la misma que la integral de 1 a u . Esto justifica la igualdad (2) con una prueba más geométrica.

Una prueba visual de la fórmula del producto del logaritmo natural

La fórmula de potencia ln( t ^r ) = r ln( t ) se puede derivar de manera similar:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$La segunda igualdad utiliza un cambio de variables ( integración por sustitución ), w = x ^{1/ r} .

La suma de los recíprocos de los números naturales se denomina serie armónica . Está estrechamente vinculada al logaritmo natural : cuando n tiende a infinito , la diferencia converge (es decir, se acerca arbitrariamente) a un número conocido como la constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772... Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos como quicksort . ^[42] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

Trascendencia del logaritmo

Los números reales que no son algebraicos se denominan trascendentales ; ^[43] por ejemplo, π y e son tales números, pero no es. Casi todos los números reales son trascendentales. El logaritmo es un ejemplo de una función trascendental . El teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores trascendentales, es decir, "difíciles". ^[44] ${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

Cálculo

Las teclas de logaritmo (LOG para base 10 y LN para base  e ) en una calculadora gráfica TI-83 Plus

Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, como log ₁₀  (1000) = 3. En general, los logaritmos se pueden calcular utilizando series de potencias o la media aritmético-geométrica , o se pueden recuperar de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fija. ^{[45] [46]} El método de Newton , un método iterativo para resolver ecuaciones de forma aproximada, también se puede utilizar para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, se puede calcular de manera eficiente. ^[47] Utilizando tablas de consulta, se pueden utilizar métodos similares a CORDIC para calcular logaritmos utilizando solo las operaciones de adición y desplazamientos de bits . ^{[48] [49]} Además, el algoritmo de logaritmo binario calcula lb( x ) de forma recursiva , basándose en cuadrados repetidos de x , aprovechando la relación $${\displaystyle \log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.}$$

Serie de potencias

Serie de Taylor

La serie de Taylor de ln( z ) centrada en z = 1 . La animación muestra las primeras 10 aproximaciones junto con la 99.ª y la 100.ª. Las aproximaciones no convergen más allá de una distancia de 1 desde el centro.

Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z ≤ 2 , se cumple la siguiente fórmula: ^{[nb 4] [50]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Igualar la función ln( z ) a esta suma infinita ( serie ) es una forma abreviada de decir que la función puede aproximarse a un valor cada vez más preciso mediante las siguientes expresiones (conocidas como sumas parciales ):

$${\displaystyle (z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots }$$

Por ejemplo, con z = 1,5 la tercera aproximación da como resultado 0,4167 , que es aproximadamente 0,011 mayor que ln(1,5) = 0,405465 , y la novena aproximación da como resultado 0,40553 , que es solo aproximadamente 0,0001 mayor. La n- ésima suma parcial puede aproximarse a ln( z ) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos n sea lo suficientemente grande.

En cálculo elemental, se dice que la serie converge a la función ln( z ) , y la función es el límite de la serie. Es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1 . La serie de Taylor de ln( z ) proporciona una aproximación particularmente útil a ln(1 + z ) cuando z es pequeño, | z | < 1 , ya que entonces $${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.}$$

Por ejemplo, con z = 0,1 la aproximación de primer orden da ln(1,1) ≈ 0,1 , que es menos del 5 % del valor correcto 0,0953 .

Tangente hiperbólica inversa

Otra serie se basa en la función tangente hiperbólica inversa : para cualquier número real z > 0 . ^{[nb 5] [50]} Usando la notación sigma , esto también se escribe como Esta serie se puede derivar de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si z está cerca de 1. Por ejemplo, para z = 1.5 , los primeros tres términos de la segunda serie se aproximan a ln(1.5) con un error de aproximadamente $${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$$ $${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}$$3 × 10 ⁻⁶ . La rápida convergencia para z cerca de 1 se puede aprovechar de la siguiente manera: dada una aproximación de baja precisión y ≈ ln( z ) y poniendo el logaritmo de z como: Cuanto mejor sea la aproximación inicial y , más cerca está A de 1, por lo que su logaritmo se puede calcular de manera eficiente. A se puede calcular utilizando la serie exponencial , que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. El cálculo del logaritmo de z más grande se puede reducir a valores más pequeños de z escribiendo z = a · 10 ^b , de modo que ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10) . $${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},}$$ $${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).}$$

Se puede utilizar un método estrechamente relacionado para calcular el logaritmo de los números enteros. Si se introduce la serie anterior, se deduce que: Si se conoce el logaritmo de un número entero grande  n , entonces esta serie produce una serie de convergencia rápida para log( n + 1) , con una tasa de convergencia de . ${\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$$ ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$

Aproximación a la media aritmética-geométrica

La media aritmético-geométrica produce aproximaciones de alta precisión del logaritmo natural . Sasaki y Kanada demostraron en 1982 que era particularmente rápida para precisiones entre 400 y 1000 decimales, mientras que los métodos de la serie de Taylor eran típicamente más rápidos cuando se necesitaba menos precisión. En su trabajo, ln( x ) se aproxima a una precisión de 2 ^{− p} (o p  bits precisos) mediante la siguiente fórmula (debida a Carl Friedrich Gauss ): ^{[51] [52]}

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

Aquí M( x , y ) denota la media aritmético-geométrica de x e y . Se obtiene calculando repetidamente el promedio ( x + y )/2 ( media aritmética ) y ( media geométrica ) de x e y y luego dejando que esos dos números se conviertan en los siguientes x e y . Los dos números convergen rápidamente a un límite común que es el valor de M( x , y ) . m se elige de modo que ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

para garantizar la precisión requerida. Un valor m mayor hace que el cálculo de M( x , y ) requiera más pasos (las x e y iniciales están más separadas, por lo que se requieren más pasos para converger), pero brinda más precisión. Las constantes π y ln(2) se pueden calcular con series que convergen rápidamente.

Algoritmo de Feynman

Mientras trabajaba en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en el Proyecto Manhattan , Richard Feynman desarrolló un algoritmo de procesamiento de bits para calcular el logaritmo que es similar a la división larga y que luego se utilizó en la Máquina de Conexión . El algoritmo se basa en el hecho de que cada número real x donde 1 < x < 2 se puede representar como un producto de factores distintos de la forma 1 + 2 ^{− k} . El algoritmo construye secuencialmente ese producto  P , comenzando con P = 1 y k = 1 : si P · (1 + 2 ^{− k} ) < x , entonces cambia P a P · (1 + 2 ^{− k} ) . Luego aumenta en uno independientemente. El algoritmo se detiene cuando k es lo suficientemente grande como para dar la precisión deseada. Como log( x ) es la suma de los términos de la forma log(1 + 2 ^{− k} ) correspondientes a aquellos k para los cuales el factor 1 + 2 ^{− k} se incluyó en el producto  P , log( x ) puede calcularse mediante una simple adición, utilizando una tabla de log(1 + 2 ^{− k} ) para todos los k . Se puede utilizar cualquier base para la tabla de logaritmos. ^[53] ${\displaystyle k}$

Aplicaciones

Una concha de nautilus que muestra una espiral logarítmica.

Los logaritmos tienen muchas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Algunas de estas ocurrencias están relacionadas con la noción de invariancia de escala . Por ejemplo, cada cámara de la concha de un nautilus es una copia aproximada de la siguiente, escalada por un factor constante. Esto da lugar a una espiral logarítmica . ^[54] La ley de Benford sobre la distribución de los dígitos principales también se puede explicar por la invariancia de escala. ^[55] Los logaritmos también están vinculados a la autosimilitud . Por ejemplo, los logaritmos aparecen en el análisis de algoritmos que resuelven un problema dividiéndolo en dos problemas similares más pequeños y parcheando sus soluciones. ^[56] Las dimensiones de las formas geométricas autosimilares, es decir, formas cuyas partes se parecen a la imagen general, también se basan en logaritmos. Las escalas logarítmicas son útiles para cuantificar el cambio relativo de un valor en oposición a su diferencia absoluta. Además, debido a que la función logarítmica log( x ) crece muy lentamente para valores grandes de x , se utilizan escalas logarítmicas para comprimir datos científicos a gran escala. Los logaritmos también aparecen en numerosas fórmulas científicas, como la ecuación del cohete de Tsiolkovsky , la ecuación de Fenske o la ecuación de Nernst .

Escala logarítmica

Un gráfico logarítmico que representa el valor de un marco oro en Papiermarks durante la hiperinflación alemana de la década de 1920

Las magnitudes científicas se expresan a menudo como logaritmos de otras magnitudes, utilizando una escala logarítmica . Por ejemplo, el decibel es una unidad de medida asociada a magnitudes de escala logarítmica . Se basa en el logaritmo común de proporciones : 10 veces el logaritmo común de una relación de potencia o 20 veces el logaritmo común de una relación de voltaje . Se utiliza para cuantificar la atenuación o amplificación de señales eléctricas, ^[57] para describir los niveles de potencia de los sonidos en acústica , ^[58] y la absorbancia de la luz en los campos de la espectrometría y la óptica . La relación señal-ruido que describe la cantidad de ruido no deseado en relación con una señal (significativa) también se mide en decibelios. ^[59] De manera similar, la relación señal-ruido pico se utiliza comúnmente para evaluar la calidad de los métodos de compresión de sonido e imagen utilizando el logaritmo. ^[60]

La fuerza de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida en el terremoto. Esto se utiliza en la escala de magnitud de momento o la escala de magnitud de Richter . Por ejemplo, un terremoto de 5.0 libera 32 veces (10 ^1.5 ) y uno de 6.0 libera 1000 veces (10 ³ ) la energía de un terremoto de 4.0. ^[61] La magnitud aparente mide el brillo de las estrellas logarítmicamente. ^[62] En química, el negativo del logaritmo decimal, el decimalEl cologaritmo decimal se indica con la letra p.^[63]Por ejemplo,el pHes el cologaritmo decimal de laactividaddehidronio(la formaioneshidrógeno H ⁺
tomar en agua). ^[64] La actividad de los iones hidronio en agua neutra es de 10 ⁻⁷  mol·L ⁻¹ , por lo tanto, un pH de 7. El vinagre normalmente tiene un pH de aproximadamente 3. La diferencia de 4 corresponde a una relación de 10 ⁴ de la actividad, es decir, la actividad del ion hidronio del vinagre es de aproximadamente 10 ⁻³ mol·L ⁻¹ .

Los gráficos semilogarítmicos (log-lineales) utilizan el concepto de escala logarítmica para la visualización: un eje, normalmente el vertical, se escala logarítmicamente. Por ejemplo, el gráfico de la derecha comprime el pronunciado aumento de 1 millón a 1 billón al mismo espacio (en el eje vertical) que el aumento de 1 a 1 millón. En dichos gráficos, las funciones exponenciales de la forma f ( x ) = a · b ^x aparecen como líneas rectas con pendiente igual al logaritmo de b . Los gráficos logarítmicos-logarítmicos escalan ambos ejes logarítmicamente, lo que hace que las funciones de la forma f ( x ) = a · x ^k se representen como líneas rectas con pendiente igual al exponente  k . Esto se aplica en la visualización y el análisis de leyes de potencia . ^[65]

Psicología

Los logaritmos aparecen en varias leyes que describen la percepción humana : ^{[66] [67]} La ​​ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que tardan los individuos en elegir una alternativa y el número de opciones que tienen. ^[68] La ley de Fitts predice que el tiempo necesario para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la relación entre la distancia a un objetivo y el tamaño del objetivo. ^[69] En psicofísica , la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación, como el peso real frente al peso percibido de un objeto que lleva una persona. ^[70] (Esta "ley", sin embargo, es menos realista que los modelos más recientes, como la ley de potencia de Stevens . ^[71] )

Estudios psicológicos han demostrado que los individuos con poca educación matemática tienden a estimar cantidades de forma logarítmica, es decir, ubican un número en una línea no marcada de acuerdo con su logaritmo, de modo que 10 se ubica tan cerca de 100 como 100 de 1000. El aumento de la educación cambia esto a una estimación lineal (ubicando 1000 10 veces más lejos) en algunas circunstancias, mientras que los logaritmos se utilizan cuando los números que se van a representar son difíciles de representar linealmente. ^{[72] [73]}

Teoría de la probabilidad y estadística

Tres funciones de densidad de probabilidad (PDF) de variables aleatorias con distribuciones log-normales. El parámetro de ubicación  μ , que es cero para las tres PDF mostradas, es la media del logaritmo de la variable aleatoria, no la media de la variable en sí.

Distribución de los primeros dígitos (en %, barras rojas) de la población de los 237 países del mundo. Los puntos negros indican la distribución predicha por la ley de Benford.

Los logaritmos surgen en la teoría de la probabilidad : la ley de los grandes números dicta que, para una moneda justa , a medida que el número de lanzamientos de moneda aumenta hasta el infinito, la proporción observada de caras se acerca a la mitad . Las fluctuaciones de esta proporción alrededor de la mitad se describen mediante la ley del logaritmo iterado . ^[74]

Los logaritmos también se dan en distribuciones log-normales . Cuando el logaritmo de una variable aleatoria tiene una distribución normal , se dice que la variable tiene una distribución log-normal. ^[75] Las distribuciones log-normales se encuentran en muchos campos, donde una variable se forma como el producto de muchas variables aleatorias positivas independientes, por ejemplo en el estudio de la turbulencia. ^[76]

Los logaritmos se utilizan para la estimación de máxima verosimilitud de modelos estadísticos paramétricos . Para un modelo de este tipo, la función de verosimilitud depende de al menos un parámetro que debe estimarse. Un máximo de la función de verosimilitud ocurre en el mismo valor del parámetro que un máximo del logaritmo de la verosimilitud (el " log-verosimilitud "), porque el logaritmo es una función creciente. El log-verosimilitud es más fácil de maximizar, especialmente para las verosimilitudes multiplicadas para variables aleatorias independientes . ^[77]

La ley de Benford describe la aparición de dígitos en muchos conjuntos de datos , como las alturas de los edificios. Según la ley de Benford, la probabilidad de que el primer dígito decimal de un elemento en la muestra de datos sea d (de 1 a 9) es igual a log ₁₀  ( d + 1) − log ₁₀  ( d ) , independientemente de la unidad de medida. ^[78] Por lo tanto, se puede esperar que aproximadamente el 30% de los datos tengan 1 como primer dígito, el 18% comience con 2, etc. Los auditores examinan las desviaciones de la ley de Benford para detectar contabilidad fraudulenta. ^[79]

La transformación logarítmica es un tipo de transformación de datos que se utiliza para acercar la distribución empírica a la supuesta.

Complejidad computacional

El análisis de algoritmos es una rama de la informática que estudia el rendimiento de los algoritmos (programas informáticos que resuelven un determinado problema). ^[80] Los logaritmos son valiosos para describir algoritmos que dividen un problema en problemas más pequeños y unen las soluciones de los subproblemas. ^[81]

Por ejemplo, para encontrar un número en una lista ordenada, el algoritmo de búsqueda binaria comprueba la entrada del medio y procede con la mitad antes o después de la entrada del medio si el número todavía no se encuentra. Este algoritmo requiere, en promedio, comparaciones log ₂  ( N ) , donde N es la longitud de la lista. ^[82] De manera similar, el algoritmo de ordenación por fusión ordena una lista no ordenada dividiendo la lista en mitades y ordenando estas primero antes de fusionar los resultados. Los algoritmos de ordenación por fusión generalmente requieren un tiempo aproximadamente proporcional a N · log( N ) . ^{[83] La base del logaritmo no se especifica aquí, porque el resultado solo cambia por un factor constante cuando se usa otra base. Un factor constante generalmente se ignora en el análisis de algoritmos bajo el} modelo de costo uniforme estándar . ^[84]

Se dice que una función  f ( x ) crece logarítmicamente si f ( x ) es (exactamente o aproximadamente) proporcional al logaritmo de x . (Sin embargo, las descripciones biológicas del crecimiento de los organismos utilizan este término para una función exponencial. ^[85] ) Por ejemplo, cualquier número natural  N se puede representar en forma binaria en no más de log ₂  N + 1  bits . En otras palabras, la cantidad de memoria necesaria para almacenar N crece logarítmicamente con N .

Entropía y caos

Billar sobre una mesa de billar ovalada . Dos partículas, que comienzan en el centro con un ángulo que difiere en un grado, toman caminos que divergen caóticamente debido a las reflexiones en el límite.

La entropía es, en líneas generales, una medida del desorden de algún sistema. En termodinámica estadística , la entropía  S de algún sistema físico se define como La suma es de todos los estados posibles  i del sistema en cuestión, como las posiciones de las partículas de gas en un recipiente. Además, p _i es la probabilidad de que se alcance el estado  i y k es la constante de Boltzmann . De manera similar, la entropía en la teoría de la información mide la cantidad de información. Si un receptor de un mensaje puede esperar cualquiera de los N mensajes posibles con la misma probabilidad, entonces la cantidad de información transmitida por cualquiera de esos mensajes se cuantifica como log ₂ N bits. ^[86] $${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$ 

Los exponentes de Lyapunov utilizan logaritmos para medir el grado de caoticidad de un sistema dinámico . Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales dan como resultado trayectorias muy diferentes de la partícula. Estos sistemas son caóticos de manera determinista , porque pequeños errores de medición del estado inicial conducen previsiblemente a estados finales muy diferentes. ^[87] Al menos un exponente de Lyapunov de un sistema deterministamente caótico es positivo.

Fractales

El triángulo de Sierpinski (a la derecha) se construye reemplazando repetidamente triángulos equiláteros por tres más pequeños.

Los logaritmos aparecen en las definiciones de la dimensión de los fractales . ^[88] Los fractales son objetos geométricos que son autosimilares en el sentido de que pequeñas partes reproducen, al menos aproximadamente, toda la estructura global. El triángulo de Sierpinski (en la imagen) puede estar cubierto por tres copias de sí mismo, cada una con lados de la mitad de la longitud original. Esto hace que la dimensión de Hausdorff de esta estructura sea ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Otra noción de dimensión basada en logaritmos se obtiene contando el número de cajas necesarias para cubrir el fractal en cuestión.

Música

Cuatro octavas diferentes mostradas en una escala lineal, luego mostradas en una escala logarítmica (como las escucha el oído)

Los logaritmos están relacionados con los tonos musicales y los intervalos . En las afinaciones de temperamento igual , la relación de frecuencia depende solo del intervalo entre dos tonos, no de la frecuencia específica, o tono , de los tonos individuales. En la afinación de temperamento igual de 12 tonos común en la música occidental moderna, cada octava (duplicación de la frecuencia) se divide en doce intervalos igualmente espaciados llamados semitonos . Por ejemplo, si la nota  A tiene una frecuencia de 440  Hz , entonces la nota B bemol tiene una frecuencia de 466 Hz. El intervalo entre A y B bemol es un semitono , al igual que el intervalo entre B bemol y B (frecuencia 493 Hz). En consecuencia, las relaciones de frecuencia concuerdan: $${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

Los intervalos entre tonos arbitrarios se pueden medir en octavas tomando el logaritmo base 2 de la relación de frecuencias , se pueden medir en semitonos igualmente temperados tomando el logaritmo base 2 ^1/12 ( 12 veces el logaritmo base 2 ), o se pueden medir en centavos , centésimas de semitono, tomando el logaritmo base 2 ^1/1200 ( 1200 veces el logaritmo base 2 ). Este último se utiliza para una codificación más fina, ya que es necesario para mediciones más finas o temperamentos no iguales. ^[89]

Teoría de números

Los logaritmos naturales están estrechamente relacionados con el conteo de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...), un tema importante en la teoría de números . Para cualquier entero  x , la cantidad de números primos menores o iguales a x se denota π ( x ) . El teorema de los números primos afirma que π ( x ) está dado aproximadamente por en el sentido de que la razón de π ( x ) y esa fracción se acerca a 1 cuando x tiende a infinito. ^[90] Como consecuencia, la probabilidad de que un número elegido aleatoriamente entre 1 y x sea primo es inversamente proporcional al número de dígitos decimales de x . Una estimación mucho mejor de π ( x ) viene dada por la función integral logarítmica de desplazamiento Li( x ) , definida por La hipótesis de Riemann , una de las conjeturas matemáticas abiertas más antiguas , puede enunciarse en términos de comparar π ( x ) y Li( x ) . ^[91] El teorema de Erdős-Kac que describe el número de factores primos distintos también involucra al logaritmo natural . $${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

El logaritmo de n factorial , n ! = 1 · 2 · ... · n , está dado por Esto se puede utilizar para obtener la fórmula de Stirling , una aproximación de n ! para n grandes . ^[92] $${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

Generalizaciones

Logaritmo complejo

Forma polar de z = x + iy . Tanto φ como φ' son argumentos de z .

Todos los números complejos a que resuelven la ecuación

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

se llaman logaritmos complejos de z , cuando z es (considerado como) un número complejo. Un número complejo se representa comúnmente como z = x + iy , donde x e y son números reales e i es una unidad imaginaria , cuyo cuadrado es −1. Un número de este tipo se puede visualizar mediante un punto en el plano complejo , como se muestra a la derecha. La forma polar codifica un número complejo distinto de cero  z por su valor absoluto , es decir, la distancia (positiva, real)  r al origen , y un ángulo entre el eje real ( x ) Re y la línea que pasa por el origen y z . Este ángulo se llama argumento de z . 

El valor absoluto r de z viene dado por

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Utilizando la interpretación geométrica del seno y el coseno y su periodicidad en 2 π , cualquier número complejo  z puede denotarse como

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

para cualquier número entero  k . Evidentemente, el argumento de z no está especificado de forma única: tanto φ como φ' = φ + 2 k π son argumentos válidos de z para todos los enteros  k , porque añadir 2 k π  radianes o k ⋅360° ^{[nb 6]} a φ corresponde a "enrollarse" alrededor del origen en sentido antihorario mediante k  vueltas . El número complejo resultante es siempre z , como se ilustra a la derecha para k = 1 . Se puede seleccionar exactamente uno de los posibles argumentos de z como el llamado argumento principal , denotado Arg( z ) , con A mayúscula  , al requerir que φ pertenezca a una vuelta convenientemente seleccionada, p. ej. − π < φ ≤ π ^[93] o 0 ≤ φ < 2 π . ^[94] Estas regiones, donde el argumento de z está determinado de forma única, se denominan ramas de la función de argumento.

La rama principal (- π , π ) del logaritmo complejo, Log( z ) . El punto negro en z = 1 corresponde al valor absoluto cero y los colores más brillantes se refieren a valores absolutos mayores. El tono del color codifica el argumento de Log( z ) .

La fórmula de Euler conecta las funciones trigonométricas seno y coseno con la exponencial compleja : $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Utilizando esta fórmula, y nuevamente la periodicidad, se cumplen las siguientes identidades: ^[95]

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

donde ln( r ) es el único logaritmo natural real, a _k denota los logaritmos complejos de z , y k es un entero arbitrario. Por lo tanto, los logaritmos complejos de z , que son todos aquellos valores complejos a _k para los cuales la a _k -ésima  potencia de e es igual a z , son los infinitos valores para los enteros arbitrarios k . $${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

Si tomamos k de manera que φ + 2 k π esté dentro del intervalo definido para los argumentos principales, entonces a _k se denomina el valor principal del logaritmo, denotado Log( z ) , nuevamente con una  L mayúscula . El argumento principal de cualquier número real positivo  x es 0; por lo tanto, Log( x ) es un número real y es igual al logaritmo real (natural). Sin embargo, las fórmulas anteriores para logaritmos de productos y potencias no se generalizan al valor principal del logaritmo complejo. ^[96]

La ilustración de la derecha representa Log( z ) , confinando los argumentos de z al intervalo (−π, π] . De esta manera, la rama correspondiente del logaritmo complejo tiene discontinuidades a lo largo del eje x real negativo  , lo que se puede ver en el salto en el tono allí. Esta discontinuidad surge de saltar al otro límite en la misma rama, al cruzar un límite, es decir, no cambiar al valor k correspondiente de la rama continuamente vecina. Tal locus se llama corte de rama . Eliminar las restricciones de rango en el argumento hace que las relaciones "argumento de z ", y en consecuencia el "logaritmo de z ", sean funciones multivaluadas .

Inversas de otras funciones exponenciales

La exponenciación se da en muchas áreas de las matemáticas y su función inversa se conoce a menudo como logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de una matriz es la función inversa (multivaluada) de la exponencial matricial . ^[97] Otro ejemplo es el logaritmo p -ádico , la función inversa de la exponencial p -ádica . Ambos se definen mediante series de Taylor análogas al caso real. ^[98] En el contexto de la geometría diferencial , la función exponencial mapea el espacio tangente en un punto de una variedad a un entorno de ese punto. Su inversa también se llama función logarítmica (o log). ^[99]

En el contexto de grupos finitos, la exponenciación se da multiplicando repetidamente un elemento del grupo  b por sí mismo. El logaritmo discreto es el entero  n que resuelve la ecuación donde x es un elemento del grupo. La exponenciación se puede realizar de manera eficiente, pero se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular en algunos grupos. Esta asimetría tiene aplicaciones importantes en la criptografía de clave pública , como por ejemplo en el intercambio de claves Diffie-Hellman , una rutina que permite intercambios seguros de claves criptográficas a través de canales de información no seguros. ^[100] El logaritmo de Zech está relacionado con el logaritmo discreto en el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un cuerpo finito . ^[101] $${\displaystyle b^{n}=x,}$$

Otras funciones inversas similares a los logaritmos incluyen el logaritmo doble  ln(ln( x )) , el super- o hiper-4-logaritmo (una ligera variación del cual se llama logaritmo iterado en informática), la función W de Lambert y el logit . Son las funciones inversas de la función exponencial doble , tetración , de f ( w ) = we ^w , ^[102] y de la función logística , respectivamente. ^[103]

Conceptos relacionados

Desde la perspectiva de la teoría de grupos , la identidad log( cd ) = log( c ) + log( d ) expresa un isomorfismo de grupo entre los reales positivos bajo multiplicación y los reales bajo adición. Las funciones logarítmicas son los únicos isomorfismos continuos entre estos grupos. ^[104] Por medio de ese isomorfismo, la medida de Haar ( medida de Lebesgue )  dx en los reales corresponde a la medida de Haar  dx / x en los reales positivos. ^[105] Los reales no negativos no solo tienen una multiplicación, sino que también tienen adición, y forman un semianillo , llamado semianillo de probabilidad ; este es de hecho un semicuerpo . El logaritmo entonces lleva la multiplicación a la adición (multiplicación logarítmica), y lleva la adición a la adición logarítmica ( LogSumExp ), dando un isomorfismo de semianillos entre el semianillo de probabilidad y el semianillo logarítmico .

Las formas logarítmicas  df / f aparecen en el análisis complejo y la geometría algebraica como formas diferenciales con polos logarítmicos . ^[106]

El polilogaritmo es la función definida por Está relacionado con el logaritmo natural por Li ₁  ( z ) = −ln(1 − z ) . Además, Li _s  (1) es igual a la función zeta de Riemann ζ( s ) . ^[107] $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de aritmética
• Portal de química
• Portal de geografía
• Portal de ingeniería

• Exponente decimal (dex)
• Función exponencial
• Índice de artículos sobre logaritmos

Notas

1. Las restricciones de x y b se explican en la sección "Propiedades analíticas".
2. Prueba: Tomando el logaritmo en base k de la identidad definitoria se obtiene La fórmula se deduce resolviendo ${\textstyle x=b^{\log _{b}x},}$ ${\displaystyle \log _{k}x=\log _{k}\left(b^{\log _{b}x}\right)=\log _{b}x\cdot \log _{k}b.}$ ${\displaystyle \log _{b}x.}$
3. z Algunos matemáticos desaprueban esta notación. En su autobiografía de 1985, Paul Halmos criticó lo que consideraba la "notación infantil ln ", que según él ningún matemático había utilizado jamás. ^[16] La notación fue inventada por el matemático del siglo XIX I. Stringham . ^{[17] [18]}
4. La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z que satisfacen | z − 1| < 1 .
5. La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z con parte real positiva.
6. Consulte radianes para la conversión entre 2 π y 360 grados .

Referencias

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3. Kate, SK; Bhapkar, HR (2009), Fundamentos de matemáticas , Pune: Publicaciones técnicas, ISBN 978-81-8431-755-8, capítulo 1
4. Todas las afirmaciones de esta sección se pueden encontrar en Douglas Downing 2003, p. 275 o Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, por ejemplo.
5. Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Esquema de teoría y problemas de elementos de estadística de Schaum. I, Estadística descriptiva y probabilidad, Serie de esquemas de Schaum, Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, pág. 21
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Enlaces externos

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• La definición del diccionario de logaritmo en Wikcionario
• Citas relacionadas con Historia de los logaritmos en Wikiquote
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