Grandes números

Números significativamente mayores que los utilizados habitualmente

Los números grandes , mucho más allá de los que encontramos en la vida cotidiana (como el simple conteo o las transacciones financieras), desempeñan un papel crucial en varios dominios. Estas cantidades expansivas aparecen de forma destacada en las matemáticas , la cosmología , la criptografía y la mecánica estadística . Si bien a menudo se manifiestan como grandes números enteros positivos , también pueden adoptar otras formas en diferentes contextos. La googología profundiza en las convenciones de nomenclatura y las propiedades de estas inmensas entidades numéricas. ^{[1] [2] [ se necesita una mejor fuente ]}

En el mundo cotidiano

La notación científica se ideó para gestionar la amplia gama de valores que se encuentran en la investigación científica. Por ejemplo, cuando escribimos 1,0 × 10⁹ , expresamos mil millones , un 1 seguido de nueve ceros: 1.000.000.000. A la inversa, el recíproco , 1,0 × 10⁻⁹ , significa una milmillonésima parte, equivalente a 0,000 000 001. Al utilizar 10 ⁹ en lugar de escribir explícitamente todos esos ceros, los lectores se ahorran el esfuerzo y la posible confusión de contar una serie extensa de ceros para comprender la magnitud del número. Además, junto con la notación científica basada en potencias de 10, existe una nomenclatura sistemática para números grandes en la escala corta.

Algunos ejemplos de números grandes que describen objetos cotidianos del mundo real incluyen:

• El número de células en el cuerpo humano (estimado en 3,72 × 10¹³ ), o 37,2 billones ^[3]
• La cantidad de bits en el disco duro de una computadora (a partir de 2024 ^[actualizar], generalmente alrededor de 10 ¹³ , 1–2  TB ), o 10 billones
• El número de conexiones neuronales en el cerebro humano (estimado en 10 ¹⁴ ), o 100 billones
• La constante de Avogadro es el número de “entidades elementales” (normalmente átomos o moléculas) en un mol ; el número de átomos en 12 gramos de carbono-12  – aproximadamente6,022 × 10 ²³ , o 602,2 sextillones.
• El número total de pares de bases de ADN dentro de toda la biomasa de la Tierra, como una posible aproximación de la biodiversidad global , se estima en(5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , o 53 ± 36 undecillones ^{[4] [5]}
• La masa de la Tierra consta de aproximadamente 4 × 10 ⁵¹ , o 4 sexdecillones, de nucleones.
• El número estimado de átomos en el universo observable (10 ⁸⁰ ), o 100 quinvigintillones
• El límite inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez, también conocido como el “ número de Shannon ” (estimado en alrededor de 10 ¹²⁰ ), o 1 novemtrigintillón ^[6]
  • Tenga en cuenta que este valor del número de Shannon corresponde al ajedrez estándar. Tiene valores aún mayores para variantes de ajedrez de tablero más grande, como Grant Acedrex , Tai Shogi y Taikyoku Shogi .

Astronómico

En la vasta extensión de la astronomía y la cosmología , nos encontramos con cifras asombrosas relacionadas con la longitud y el tiempo. Por ejemplo, según el modelo predominante del Big Bang , nuestro universo tiene aproximadamente 13.800 millones de años (equivalente a 4,355 × 10^17 segundos). El universo observable se extiende por unos increíbles 93.000 millones de años luz (aproximadamente 8,8 × 10^26 metros) y alberga alrededor de 5 × 10^22 estrellas, organizadas en aproximadamente 125.000 millones de galaxias (como se observó con el telescopio espacial Hubble). Como estimación aproximada, hay alrededor de 10^80 átomos dentro del universo observable. ^[7]

Según Don Page , físico de la Universidad de Alberta, Canadá, el tiempo finito más largo que hasta ahora ha sido calculado explícitamente por cualquier físico es

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}}$

que corresponde a la escala de un tiempo de recurrencia de Poincaré estimado para el estado cuántico de una caja hipotética que contiene un agujero negro con la masa estimada de todo el universo, observable o no, asumiendo un cierto modelo inflacionario con un inflatón cuya masa es 10 ⁻⁶ masas de Planck . ^{[8] [9]} Este tiempo supone un modelo estadístico sujeto a la recurrencia de Poincaré. Una forma mucho más simplificada de pensar en este tiempo es en un modelo donde la historia del universo se repite arbitrariamente muchas veces debido a las propiedades de la mecánica estadística ; esta es la escala de tiempo en la que primero será algo similar (para una elección razonable de "similar") a su estado actual nuevamente.

Los procesos combinatorios dan lugar a números asombrosamente grandes. La función factorial , que cuantifica las permutaciones de un conjunto fijo de objetos, crece exponencialmente a medida que aumenta el número de objetos. La fórmula de Stirling proporciona una expresión asintótica precisa para este rápido crecimiento.

En mecánica estadística, los números combinatorios alcanzan magnitudes tan inmensas que a menudo se expresan mediante logaritmos .

Los números de Gödel , junto con representaciones similares de cadenas de bits en la teoría de la información algorítmica , son muy numerosos, incluso para enunciados matemáticos de longitud moderada. Sorprendentemente, ciertos números patológicos superan incluso a los números de Gödel asociados con proposiciones matemáticas típicas.

El lógico Harvey Friedman ha realizado contribuciones significativas al estudio de números muy grandes, incluido el trabajo relacionado con el teorema del árbol de Kruskal y el teorema de Robertson-Seymour .

"Miles de millones y miles de millones"

Para ayudar a los espectadores de Cosmos a distinguir entre "millones" y "billones", el astrónomo Carl Sagan enfatizó la "b". Sin embargo, Sagan nunca dijo " billones y billones ". La asociación del público de la frase con Sagan surgió de un sketch del Tonight Show . Parodiando el efecto de Sagan, Johnny Carson bromeó con "billones y billones". ^[10] Sin embargo, la frase se ha convertido ahora en un número ficticio humorístico: el Sagan . Cf. , Unidad Sagan .

Ejemplos

• googol = ${\displaystyle 10^{100}}$
• centillón = o , dependiendo del sistema de denominación de números ${\displaystyle 10^{303}}$ ${\displaystyle 10^{600}}$
• milmillonillion = o , dependiendo del sistema de denominación de números ${\displaystyle 10^{3003}}$ ${\displaystyle 10^{6000}}$
• El número de Smith más grande conocido = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• El primo de Mersenne más grande conocido = ^[11] ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$
• googolplex = ${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Números de Skewes : el primero es aproximadamente , el segundo ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• Número de Graham , mayor que lo que se puede representar incluso utilizando torres de energía ( tetración ). Sin embargo, se puede representar utilizando capas de notación de flecha hacia arriba de Knuth.
• El teorema del árbol de Kruskal es una secuencia relacionada con los grafos. TREE(3) es mayor que el número de Graham .
• El número del Rayo es un número grande que lleva el nombre de Agustín Rayo y que se considera el número con nombre más grande. Se definió originalmente en un "duelo de números grandes" en el MIT el 26 de enero de 2007.

Sistema estandarizado de escritura

Una forma estandarizada de escribir números muy grandes permite ordenarlos fácilmente en orden creciente y uno puede tener una buena idea de cuánto más grande es un número que otro.

Para comparar números en notación científica, por ejemplo 5×10 ⁴ y 2×10 ⁵ , primero se comparan los exponentes, en este caso 5 > 4, por lo que 2×10 ⁵ > 5×10 ⁴ . Si los exponentes son iguales, se debe comparar la mantisa (o coeficiente), por lo que 5×10 ⁴ > 2×10 ⁴ porque 5 > 2.

La tetración con base 10 da la secuencia , las torres de potencia de los números 10, donde denota una potencia funcional de la función (la función también se expresa con el sufijo "-plex" como en googolplex, véase la familia googol ). ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Se trata de números muy redondos, cada uno de los cuales representa un orden de magnitud en un sentido generalizado. Una forma rudimentaria de especificar cuán grande es un número es especificar entre qué dos números de esta secuencia se encuentra.

Más precisamente, los números intermedios se pueden expresar en la forma , es decir, con una torre de potencia de 10s, y un número en la parte superior, posiblemente en notación científica, por ejemplo , un número entre y (nótese que si ). (Véase también la extensión de la tetración a alturas reales ). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 1<a<10}$

Por lo tanto, el googolplex es ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(entre y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Así, el "orden de magnitud" de un número (en una escala mayor de la que se suele entender), se puede caracterizar por el número de veces ( n ) que hay que tomar para obtener un número entre 1 y 10. Por tanto, el número está entre y . Como se ha explicado, una descripción más precisa de un número también especifica el valor de este número entre 1 y 10, o el número anterior (tomando el logaritmo una vez menos) entre 10 y 10 ¹⁰ , o el siguiente, entre 0 y 1. ${\displaystyle log_{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Es decir, si un número x es demasiado grande para una representación, la torre de energía se puede hacer un número mayor, reemplazando x por log ₁₀ x , o encontrar x a partir de la representación de la torre inferior del log ₁₀ del número entero. Si la torre de energía contuviera uno o más números diferentes de 10, los dos enfoques conducirían a resultados diferentes, lo que corresponde al hecho de que extender la torre de energía con un 10 en la parte inferior no es lo mismo que extenderla con un 10 en la parte superior (pero, por supuesto, se aplican observaciones similares si toda la torre de energía consiste en copias del mismo número, diferente de 10). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Si la altura de la torre es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a la altura misma. Si la altura se da solo de forma aproximada, dar un valor en la parte superior no tiene sentido, por lo que se puede utilizar la notación de doble flecha (por ejemplo, ). Si el valor después de la doble flecha es un número muy grande, lo anterior se puede aplicar de forma recursiva a ese valor. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$

Ejemplos:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(entre y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(entre y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

De manera similar a lo anterior, si el exponente de no se da con exactitud, entonces dar un valor a la derecha no tiene sentido y, en lugar de usar la notación de potencia de , es posible sumar al exponente de , para obtener, por ejemplo , . ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

Si el exponente de es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a este mismo exponente. Si este exponente no está dado exactamente, entonces, nuevamente, dar un valor a la derecha no tiene sentido y, en lugar de usar la notación de potencia de es posible usar el operador de triple flecha, por ejemplo . ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$

Si el argumento de la derecha del operador de triple flecha es grande, se aplica lo anterior, obteniéndose, por ejemplo, (entre y ). Esto se puede hacer de forma recursiva, por lo que es posible tener una potencia del operador de triple flecha. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Luego es posible proceder con operadores con mayor número de flechas, escrito . ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Compare esta notación con el operador hiper y la notación de flecha encadenada de Conway :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hiper( a ,  n  + 2,  b )

Una ventaja de la primera es que, cuando se considera como función de b , existe una notación natural para las potencias de esta función (como cuando se escriben las n flechas): . Por ejemplo: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

y sólo en casos especiales se reduce la notación de cadena anidada larga; porque se obtiene: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= (10 → 3 → 3)

Como b también puede ser muy grande, en general se puede escribir en su lugar un número con una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (con exponentes enteros exactamente dados ) con al final un número en notación científica ordinaria. Siempre que a sea demasiado grande para ser dado con exactitud, el valor de se incrementa en 1 y todo lo que esté a la derecha de se reescribe. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Para describir números de forma aproximada, no se necesitan desviaciones del orden decreciente de valores de n . Por ejemplo, , y . De este modo se obtiene el resultado, un tanto contraintuitivo, de que un número x puede ser tan grande que, en cierto modo, x y 10 ^x son "casi iguales" (para la aritmética de números grandes, véase también más abajo). ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$ ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Si el superíndice de la flecha hacia arriba es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a este mismo superíndice. Si este superíndice no se da con exactitud, no tiene sentido elevar el operador a una potencia particular o ajustar el valor sobre el que actúa, en su lugar es posible simplemente usar un valor estándar a la derecha, digamos 10, y la expresión se reduce a con un valor aproximado de n . Para tales números, la ventaja de usar la notación de flecha hacia arriba ya no se aplica, por lo que se puede usar la notación de cadena en su lugar. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Lo anterior se puede aplicar de forma recursiva para este n , de modo que la notación se obtenga en el superíndice de la primera flecha, etc., o una notación de cadena anidada, por ejemplo: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Si el número de niveles se vuelve demasiado grande para ser conveniente, se utiliza una notación donde este número de niveles se escribe como un número (como usar el superíndice de la flecha en lugar de escribir muchas flechas). Introduciendo una función = (10 → 10 → n ), estos niveles se convierten en potencias funcionales de f , lo que nos permite escribir un número en la forma donde m se da exactamente y n es un entero que puede o no darse exactamente (por ejemplo: ). Si n es grande, cualquiera de los anteriores se puede utilizar para expresarlo. Los números "más redondos" son los de la forma f ^m (1) = (10→10→ m →2). Por ejemplo, ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$ ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Compare la definición del número de Graham: utiliza los números 3 en lugar de 10 y tiene 64 niveles de flecha y el número 4 en la parte superior; por lo tanto , pero también . ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$ ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Si m en es demasiado grande para darlo exactamente, es posible usar un n fijo , p. ej. n = 1, y aplicar lo anterior recursivamente a m , es decir, el número de niveles de flechas hacia arriba se representa en la notación de flecha hacia arriba en superíndice, etc. Usando la notación de potencia funcional de f esto da múltiples niveles de f . Introduciendo una función estos niveles se convierten en potencias funcionales de g , permitiéndonos escribir un número en la forma donde m se da exactamente y n es un entero que puede o no darse exactamente. Por ejemplo, si (10→10→ m →3) = g ^m (1). Si n es grande cualquiera de los anteriores puede usarse para expresarlo. De manera similar, puede introducirse una función h , etc. Si se requieren muchas de estas funciones, pueden numerarse en lugar de usar una nueva letra cada vez, p. ej. como un subíndice, de modo que haya números de la forma donde k y m se dan exactamente y n es un entero que puede o no darse exactamente. Utilizando k = 1 para la f anterior, k = 2 para g , etc., se obtiene (10→10→ n → k ) = . Si n es grande, se puede utilizar cualquiera de las anteriores para expresarlo. De este modo se obtiene una anidación de formas donde, al ir hacia dentro, k disminuye, y con un argumento interno como una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son exactamente números enteros dados) con un número al final en notación científica ordinaria. ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ ${\displaystyle g^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Cuando k es demasiado grande para ser dado exactamente, el número en cuestión puede expresarse como =(10→10→10→ n ) con un n aproximado . Nótese que el proceso de ir de la secuencia =(10→ n ) a la secuencia =(10→10→ n ) es muy similar a ir de esta última a la secuencia =(10→10→10→ n ): es el proceso general de agregar un elemento 10 a la cadena en la notación de cadena; este proceso puede repetirse nuevamente (ver también la sección anterior). Numerando las versiones posteriores de esta función un número puede describirse usando funciones , anidadas en orden lexicográfico con q el número más significativo, pero con orden decreciente para q y para k ; como argumento interno produce una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son enteros dados exactamente) con al final un número en notación científica ordinaria. ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Para un número demasiado grande para escribirlo en la notación de flecha encadenada de Conway, su tamaño se puede describir por la longitud de esa cadena, por ejemplo, usando solo los elementos 10 en la cadena; en otras palabras, uno podría especificar su posición en la secuencia 10, 10→10, 10→10→10, .. Si incluso la posición en la secuencia es un número grande, se pueden aplicar nuevamente las mismas técnicas.

Ejemplos

Números expresables en notación decimal:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46,656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑ ↑ 4 = 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 65,536
• 7 ⁷ = 823,543
• 10 ⁶ = 1.000.000 = 1 millón
• 8 ⁸ = 16.777.216
• 9 ⁹ = 387.420.489
• 10 ⁹ = 1.000.000.000 = 1 mil millones
• 10 ¹⁰ = 10.000.000.000
• 10 ¹² = 1.000.000.000.000 = 1 billón
• 3 ^{3 3} = 3 ↑ ↑ 3 = 7.625.597.484.987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1.000.000.000.000.000 = 1 millón de billones = 1 cuatrillón
• 10 ¹⁸ = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 billón de billones = 1 quintilión

Números expresables en notación científica:

• Número aproximado de átomos en el universo observable = 10 ⁸⁰ = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• googol = 10 ¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00.000.000.000.000.000.000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑ ↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Número aproximado de volúmenes de Planck que componen el volumen del universo observable = 8,5 × 10 ¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑ ↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑ ↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ^36.305 ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑ ↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^695.974 ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑ ↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ^15.151.335 ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{82,589,933}\approx 1.49\times 10^{24,862,047}\approx 10^{10^{7.3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.3955}$, el 51.º y, a partir de enero de 2021, ^[update]el mayor primo de Mersenne conocido .
• 9 ^{9 9} = 9 ↑ ↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^369.693.099 ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} =10 ↑ ↑ 3 = 10 10 ^{000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Números expresables en notación (10 ↑) ⁿ k :

• googolplex = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑ ↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑ ↑ ↑ 2 = 10 ↑ ↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) ^65,533 4.3 está entre 10 ↑↑ 65,533 y 10 ↑↑ 65,534

Números más grandes:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² está entre (10 ↑↑) ² 2 y (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$= (10 → 4 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$= (10 → 5 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$= (10 → 6 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$= (10 → 7 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$= (10 → 8 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$= (10 → 9 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$= (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
• El primer término en la definición del número de Graham, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) está entre (10 ↑↑↑) ² 2 y (10 ↑↑↑) ² 3 (Ver número de Graham#Magnitud )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$= ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$= (10 → 4 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$= (10 → 5 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$= (10 → 6 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$= (10 → 7 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$= (10 → 8 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$= (10 → 9 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$= (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• El segundo término en la definición del número de Graham, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• g ₃ = (3 → 3 → g ₂ ) > (10 → 10 → g ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g ₄ = (3 → 3 → g ₃ ) > (10 → 10 → g ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) está entre (10 → 10 → 9 → 2) y (10 → 10 → 10 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 2)
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) está entre (10 → 10 → 10 → 2) y (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) está entre (10 → 10 → 63 → 2) y (10 → 10 → 64 → 2)
• (10 → 10 → 64 → 2)
• Número de Graham, g ₆₄ ^[12]
• (10 → 10 → 65 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 3 )
• (10 → 10 → 10 → 4)
• (10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) donde hay ( 10 → 10 → 10 ) "10"

Otras notaciones

Algunas notaciones para números extremadamente grandes:

• Notación de flecha hacia arriba de Knuth / hiperoperadores / función de Ackermann , incluida la tetración
• Notación de flecha encadenada de Conway
• Notación de Steinhaus-Moser : además del método de construcción de números grandes, también se utiliza una notación gráfica con polígonos . También se pueden utilizar notaciones alternativas, como una notación de función más convencional, con las mismas funciones.
• Jerarquía de rápido crecimiento

Estas notaciones son esencialmente funciones de variables enteras, que aumentan muy rápidamente con esos números enteros. Se pueden construir fácilmente funciones de crecimiento cada vez más rápido de forma recursiva aplicando estas funciones con números enteros grandes como argumento.

Una función con una asíntota vertical no es útil para definir un número muy grande, aunque la función aumente muy rápidamente: uno tiene que definir un argumento muy cercano a la asíntota, es decir, usar un número muy pequeño, y construir eso es equivalente a construir un número muy grande, por ejemplo, el recíproco.

Comparación de valores base

A continuación se ilustra el efecto de una base distinta de 10, la base 100. También ilustra representaciones de números y la aritmética.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, con base 10 el exponente se duplica.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, lo mismo.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, el exponente más alto es muy poco más que el doble (aumentado en log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" ) ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(comparar ; por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar ; si n es grande esto es "aproximadamente" igual) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Exactitud

En el caso de un número , un cambio de unidad en n cambia el resultado por un factor de 10. En un número como , con el resultado de un redondeo adecuado utilizando cifras significativas, el valor real del exponente puede ser 50 menos o 50 más. Por lo tanto, el resultado puede ser un factor demasiado grande o demasiado pequeño. Esto parece una precisión extremadamente pobre, pero para un número tan grande puede considerarse aceptable (un error grande en un número grande puede ser "relativamente pequeño" y, por lo tanto, aceptable). ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$ ${\displaystyle 10^{50}}$

Para números muy grandes

En el caso de una aproximación de un número extremadamente grande, el error relativo puede ser grande, pero aún así puede haber un sentido en el que uno quiera considerar los números como "de magnitud cercana". Por ejemplo, considere

${\displaystyle 10^{10}}$y ${\displaystyle 10^{9}}$

El error relativo es

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

un gran error relativo. Sin embargo, también se puede considerar el error relativo en los logaritmos; en este caso, los logaritmos (en base 10) son 10 y 9, por lo que el error relativo en los logaritmos es solo del 10%.

La cuestión es que las funciones exponenciales magnifican enormemente los errores relativos: si a y b tienen un error relativo pequeño,

${\displaystyle 10^{a}}$y ${\displaystyle 10^{b}}$

El error relativo es mayor y

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$y ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

tendrá un error relativo aún mayor. La pregunta entonces es: ¿en qué nivel de logaritmos iterados comparar dos números? Hay un sentido en el que uno puede querer considerar

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$y ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

ser "de magnitud cercana". El error relativo entre estos dos números es grande, y el error relativo entre sus logaritmos sigue siendo grande; sin embargo, el error relativo en sus logaritmos de segunda iteración es pequeño:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$y ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Estas comparaciones de logaritmos iterados son comunes, por ejemplo, en la teoría analítica de números .

Clases

Una solución al problema de comparar números grandes es definir clases de números, como el sistema ideado por Robert Munafo, ^[13] que se basa en diferentes "niveles" de percepción de una persona promedio. La clase 0 (números entre cero y seis) se define para contener números que se subitizan fácilmente , es decir, números que aparecen muy frecuentemente en la vida diaria y son comparables casi instantáneamente. La clase 1 (números entre seis y 1.000.000=10 ⁶ ) se define para contener números cuyas expresiones decimales se subitizan fácilmente, es decir, números que son fácilmente comparables no por cardinalidad , sino "a simple vista" dada la expansión decimal.

Cada clase después de estas se define en términos de iterar esta exponenciación de base 10, para simular el efecto de otra "iteración" de indistinguibilidad humana. Por ejemplo, la clase 5 se define para incluir números entre 10 ^{10 10 10 6} y 10 ^{10 10 10 10 6} , que son números donde X se vuelve humanamente indistinguible de X ^{2 [14]} (tomar logaritmos iterados de tal X produce indistinguibilidad primero entre log( X ) y 2log( X ), segundo entre log(log( X )) y 1+log(log( X )), y finalmente una expansión decimal extremadamente larga cuya longitud no se puede subitizar).

Aritmética aproximada

Existen algunas reglas generales relacionadas con las operaciones aritméticas habituales realizadas con números muy grandes:

• La suma y el producto de dos números muy grandes son ambos "aproximadamente" iguales al mayor.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Por eso:

• Un número muy grande elevado a una potencia muy grande es "aproximadamente" igual al mayor de los dos valores siguientes: el primer valor y 10 elevado a la segunda potencia. Por ejemplo, para un número muy grande hay (véase, por ejemplo, el cálculo de mega ) y también . Por lo tanto , véase la tabla . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Creación sistemática de secuencias de crecimiento cada vez más rápido

Dada una secuencia/función entera estrictamente creciente ( n ≥1), es posible producir una secuencia de crecimiento más rápido (donde el superíndice n denota la n ^ésima potencia funcional ). Esto se puede repetir cualquier número de veces haciendo que , cada secuencia crezca mucho más rápido que la anterior. Por lo tanto, es posible definir , que crece mucho más rápido que cualquier para k finito (aquí ω es el primer número ordinal infinito , que representa el límite de todos los números finitos k). Esta es la base para la jerarquía de funciones de rápido crecimiento, en la que el subíndice de indexación se extiende a ordinales cada vez más grandes. ${\displaystyle f_{0}(n)}$ ${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Por ejemplo, comenzando con f ₀ ( n ) = n + 1:

• f1 ( n ) ₌ f0n ( ⁿ ) = n + n = 2n_​
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n para n ≥ 2 (usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n para n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n para n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) para n ≥ 2, donde A es la función de Ackermann (de la cual f _ω es una versión unaria)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > Número de Graham (= g ₆₄ en la secuencia definida por g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Esto se deduce de notar que f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, y por lo tanto f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (usando la notación de flecha encadenada de Conway )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (porque si g _k ( n ) = X → n → k entonces X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• f _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω+ n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• fω3 ( n ) > ( n → _n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de n +1 n' s)

En algunas secuencias no computables

La función del castor atareado Σ es un ejemplo de una función que crece más rápido que cualquier función computable . Su valor, incluso para una entrada relativamente pequeña, es enorme. Los valores de Σ( n ) para n = 1, 2, 3, 4, 5 son 1, 4, 6, 13, 4098 ^[15] (secuencia A028444 en la OEIS ). Σ(6) no se conoce, pero es al menos 10↑↑15.

Números infinitos

Aunque todos los números discutidos anteriormente son muy grandes, todos son decididamente finitos . Ciertos campos de las matemáticas definen números infinitos y transfinitos . Por ejemplo, aleph-null es la cardinalidad del conjunto infinito de números naturales , y aleph-one es el siguiente número cardinal más grande. es la cardinalidad de los reales . La proposición que se conoce como la hipótesis del continuo . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Véase también

• Aritmética de precisión arbitraria
• Lista de software de aritmética de precisión arbitraria
• Hipótesis de los grandes números de Dirac
• Crecimiento exponencial
• Historia de los grandes números
• Escala humana
• Números indefinidos y ficticios
• Número más grande
• Infinidad
• Ley de los grandes números
• Miríadas (10.000) en Asia Oriental
• Nombres de números grandes
• Poder de dos
• Potencia de 10
• Tetración

Referencias

1. Un millón de cosas: una enciclopedia visual ^{[ ¿fuente poco confiable? ]}
2. «El estudio de los grandes números se llama googología» ^{[¿ fuente poco fiable? ]}
3. Bianconi, Eva; Piovesán, Allison; Facchin, Federica; Beraudi, Alina; Casadei, Raffaella; Frabetti, Flavia; Vitale, Lorenza; Pelleri, María Chiara; Tassani, Simone (noviembre-diciembre de 2013). "Una estimación del número de células del cuerpo humano". Anales de biología humana . 40 (6): 463–471. doi : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl :11585/152451. ISSN  1464-5033. PMID  23829164. S2CID  16247166.
4. Landenmark HK, Forgan DH, Cockell CS (junio de 2015). "Una estimación del ADN total en la biosfera". PLOS Biology . 13 (6): e1002168. doi : 10.1371/journal.pbio.1002168 . PMC 4466264 . PMID  26066900. 
5. Nuwer R (18 de julio de 2015). «Contando todo el ADN de la Tierra». The New York Times . Nueva York. ISSN  0362-4331 . Consultado el 18 de julio de 2015 .
6. Shannon, Claude (marzo de 1950). «XXII. Programación de una computadora para jugar ajedrez» (PDF) . Revista filosófica . Serie 7. 41 (314). Archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2010. Consultado el 25 de enero de 2019 .
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9. Cómo conseguir un Googolplex
10. Carl Sagan aborda más preguntas de su discurso inaugural del CSICOP de 1994 'Maravilla y escepticismo', Skeptical Inquirer Archivado el 21 de diciembre de 2016 en Wayback Machine .
11. "GIMPS descubre el mayor número primo conocido". Gran búsqueda de números primos de Mersenne en Internet . 21 de diciembre de 2018.
12. Respecto a la comparación con el valor anterior: , por lo que empezar los 64 pasos con 1 en lugar de 4 compensa con creces el reemplazo de los números 3 por 10 ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$
13. "Grandes números en MROB". www.mrob.com . Consultado el 13 de mayo de 2021 .
14. "Números grandes (página 2) en MROB". www.mrob.com . Consultado el 13 de mayo de 2021 .
15. "[2 de julio de 2024] Hemos demostrado que "BB(5) = 47.176.870"". El desafío del castor atareado . 2024-07-02 . Consultado el 2024-07-04 .