El índice de poder de Banzhaf , llamado así por John Banzhaf (originalmente inventado por Lionel Penrose en 1946 y a veces llamado índice de Penrose-Banzhaf ; también conocido como índice de Banzhaf-Coleman en honor a James Samuel Coleman ), es un índice de poder definido por la probabilidad de cambiar el resultado de una votación donde los derechos de voto no están necesariamente divididos de manera equitativa entre los votantes o accionistas .
Para calcular el poder de un votante utilizando el índice de Banzhaf, se enumeran todas las coaliciones ganadoras y luego se cuentan los votantes críticos. Un votante crítico es un votante que, si cambiara su voto de sí a no, haría que la medida fracasara. El poder de un votante se mide como la fracción de todos los votos decisivos que podría emitir. Existen algunos algoritmos para calcular el índice de poder, por ejemplo, técnicas de programación dinámica , métodos de enumeración y métodos de Monte Carlo . [1]
Un juego de votación sencillo, tomado de Game Theory and Strategy de Philip D. Straffin: [2]
[6; 4, 3, 2, 1]
Los números entre paréntesis indican que una medida requiere seis votos para ser aprobada, y el votante A puede emitir cuatro votos, el votante B tres, el votante C dos y el votante D uno. Los grupos ganadores, con los votantes indecisos subrayados, son los siguientes:
AB , CA , A , B, C , D, A, C , D, BCD , ABCD
En total hay 12 votos decisivos, por lo que, según el índice Banzhaf, el poder se divide de la siguiente manera:
A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12
Consideremos el Colegio Electoral de los Estados Unidos . Cada estado tiene diferentes niveles de poder de voto. Hay un total de 538 votos electorales . Un voto mayoritario son 270 votos. El índice de poder de Banzhaf sería una representación matemática de la probabilidad de que un solo estado pueda influir en el voto. Un estado como California , al que se le asignan 55 votos electorales, tendría más probabilidades de influir en el voto que un estado como Montana , que tiene 3 votos electorales.
Supongamos que en Estados Unidos se celebran elecciones presidenciales entre un republicano (R) y un demócrata (D). Para simplificar, supongamos que solo participan tres estados: California (55 votos electorales), Texas (38 votos electorales) y Nueva York (29 votos electorales).
Los posibles resultados de las elecciones son:
El índice de poder Banzhaf de un estado es la proporción de los posibles resultados en los que ese estado podría inclinar la balanza electoral. En este ejemplo, los tres estados tienen el mismo índice: 4/12 o 1/3.
Sin embargo, si Nueva York es reemplazada por Georgia, con sólo 16 votos electorales, la situación cambia dramáticamente.
En este ejemplo, el índice Banzhaf le da a California 1 y a los demás estados 0, ya que California por sí sola tiene más de la mitad de los votos.
Lo que hoy se conoce como el índice de potencia de Banzhaf fue introducido originalmente por Lionel Penrose en 1946 [3] y quedó en gran medida olvidado. [4] Fue reinventado por John F. Banzhaf III en 1965, [5] pero tuvo que ser reinventado una vez más por James Samuel Coleman en 1971 [6] antes de convertirse en parte de la literatura convencional.
Banzhaf quería demostrar objetivamente que el sistema de votación de la junta del condado de Nassau era injusto. Como se indica en Teoría de juegos y estrategia , los votos se asignaban de la siguiente manera: [2]
Se trata de 30 votos en total, y se requiere una mayoría simple de 16 votos para que una medida sea aprobada. [a]
En la notación de Banzhaf, [Hempstead #1, Hempstead #2, North Hempstead, Oyster Bay, Glen Cove, Long Beach] son AF en [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]
Hay 32 coaliciones ganadoras y 48 votos decisivos:
AB AC BC ABC AB D AB E AB F AC D AC E AC F BC D BC E BC F ABCD ABCE ABCF AB DE AB DF AB EF AC DE AC DF AC EF BC DE BC DF BC EF ABCDE ABCDF ABCEF AB DEF AC DEF BC DEF ABCDEF
El índice Banzhaf arroja estos valores:
Banzhaf argumentó que un sistema de votación que otorga el 0% del poder al 16% de la población es injusto. [b]
Hoy en día, [¿ cuándo? ] el índice de poder de Banzhaf es una forma aceptada de medir el poder de voto, junto con el índice de poder alternativo de Shapley-Shubik . Ambas medidas se han aplicado al análisis de la votación en el Consejo de la Unión Europea . [7]
Sin embargo, el análisis de Banzhaf ha sido criticado por tratar los votos como lanzamientos de monedas, y un modelo empírico de votación en lugar de un modelo de votación aleatoria como el utilizado por Banzhaf produce resultados diferentes. [8]