Índice de potencia Shapley-Shubik

El índice de poder de Shapley-Shubik fue formulado por Lloyd Shapley y Martin Shubik en 1954 para medir los poderes de los jugadores en un juego de votación. ^[1]

Los integrantes de un sistema de votación, como los cuerpos legislativos, los ejecutivos, los accionistas, los legisladores individuales, etc., pueden considerarse como jugadores en un juego de n jugadores . Los jugadores con las mismas preferencias forman coaliciones. Cualquier coalición que tenga suficientes votos para aprobar un proyecto de ley o elegir a un candidato se denomina ganadora. El poder de una coalición (o de un jugador) se mide por la fracción de las posibles secuencias de votación en las que esa coalición emite el voto decisivo, es decir, el voto que primero garantiza la aprobación o el fracaso. ^[2]

El índice de poder está normalizado entre 0 y 1. Un poder de 0 significa que una coalición no tiene ningún efecto en el resultado del juego; y un poder de 1 significa que una coalición determina el resultado con su voto. Además, la suma de los poderes de todos los jugadores siempre es igual a 1.

Existen algunos algoritmos para calcular el índice de potencia, por ejemplo, técnicas de programación dinámica, métodos de enumeración y métodos de Monte Carlo. ^[3]

Desde que Shapley y Shubik publicaron su artículo, se han utilizado varios enfoques axiomáticos para estudiar matemáticamente el índice de potencia de Shapley-Shubik, siendo el axioma de anonimato, el axioma de jugador nulo, el axioma de eficiencia y el axioma de transferencia los más utilizados.

Ejemplos

Supongamos que las decisiones se toman por mayoría en un órgano formado por A, B, C y D, que tienen 3, 2, 1 y 1 votos, respectivamente. El umbral de mayoría de votos es 4. Hay 4! = 24 órdenes posibles para que estos miembros voten:

En cada secuencia de votación, el votante pivote (el votante que primero eleva la suma acumulada a 4 o más) aparece en negrita. Aquí, A es pivote en 12 de las 24 secuencias. Por lo tanto, A tiene un índice de poder de 1/2. Los demás tienen un índice de poder de 1/6. Curiosamente, B no tiene más poder que C y D. Si tenemos en cuenta que el voto de A determina el resultado a menos que los demás se unan contra A, resulta claro que B, C y D desempeñan papeles idénticos. Esto se refleja en los índices de poder.

Supongamos que en otro órgano de votación por mayoría de miembros, en el que un solo miembro fuerte tiene votos y los miembros restantes tienen un voto cada uno. En este caso, el miembro fuerte tiene un índice de poder de (a menos que , en cuyo caso el índice de poder es simplemente ). Nótese que esto es más que la fracción de votos que el miembro fuerte controla. De hecho, este miembro fuerte tiene solo una fracción de los votos. Consideremos, por ejemplo, una empresa que tiene 1000 acciones en circulación con derecho a voto. Un gran accionista posee 400 acciones, mientras que otros 600 accionistas poseen 1 acción cada uno. Esto corresponde a y . En este caso, el índice de poder del gran accionista es aproximadamente 0,666 (o 66,6%), aunque este accionista posee solo el 40% de las acciones. Los 600 accionistas restantes tienen un índice de poder de menos de 0,0006 (o 0,06%). De esta manera, el gran accionista posee más de 1.000 veces más poder de voto que cualquier otro accionista, mientras que posee sólo 400 veces más acciones. ^[1] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$ ${\displaystyle k>n+1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+k}}}$ ${\displaystyle n=600}$ ${\displaystyle k=400}$

Lo anterior se puede derivar matemáticamente de la siguiente manera. Nótese que se alcanza una mayoría si se emiten al menos votos a favor. Si , el miembro fuerte claramente tiene todo el poder, ya que en este caso (es decir, los votos del miembro fuerte solo cumplen con el umbral de mayoría). Supongamos ahora que y que en una secuencia de votación elegida aleatoriamente, el miembro fuerte vota como el miembro n.º. Esto significa que después de que el primer miembro haya votado, se han emitido votos a favor, mientras que después de que los primeros miembros hayan votado, se han emitido votos a favor. El voto del miembro fuerte es fundamental si el primero no cumple con el umbral de mayoría, mientras que el segundo sí. Es decir, , y . Podemos reescribir esta condición como . Nótese que nuestra condición de asegura que y (es decir, todos los valores permitidos de son factibles). Por lo tanto, el miembro fuerte es el votante fundamental si toma uno de los valores de hasta pero sin incluir . Dado que cada uno de los posibles valores de está asociado con el mismo número de secuencias de votación, esto significa que el miembro fuerte es el votante fundamental en una fracción de las secuencias de votación. Es decir, el índice de potencia del miembro fuerte es . ${\displaystyle t(n,k)=\left\lfloor {\dfrac {n+k}{2}}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle k\geq n+1}$ ${\displaystyle k\geq t(n,k)}$ ${\displaystyle k\leq n+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-1+k}$ ${\displaystyle r-1<t(n,k)}$ ${\displaystyle r-1+k\geq t(n,k)}$ ${\displaystyle t(n,k)+1-k\leq r<t(n,k)+1}$ ${\displaystyle k\leq n+1}$ ${\displaystyle 1\leq t(n,k)+1-k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1\leq n+2}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1-k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$

Aplicaciones

El índice se ha aplicado al análisis de las votaciones en el Consejo de la Unión Europea . ^[4]

El índice se ha aplicado al análisis de la votación en el Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas . El Consejo de Seguridad de la ONU está formado por quince Estados miembros, de los cuales cinco (Estados Unidos de América, Rusia, China, Francia y el Reino Unido) son miembros permanentes del consejo. Para que una moción se apruebe en el Consejo, necesita el apoyo de todos los miembros permanentes y el apoyo de cuatro miembros no permanentes. Esto es equivalente a un cuerpo de votación donde los cinco miembros permanentes tienen ocho votos cada uno, los otros diez miembros tienen un voto cada uno y hay una cuota de cuarenta y cuatro votos, ya que entonces habría cincuenta votos en total, por lo que necesita los cinco miembros permanentes y luego otros cuatro votos para que una moción se apruebe. Tenga en cuenta que un miembro no permanente es fundamental en una permutación si y solo si está en la novena posición para votar y los cinco miembros permanentes ya han votado. Supongamos que tenemos una permutación en la que un miembro no permanente es fundamental. Entonces hay tres miembros no permanentes y cinco permanentes que tienen que venir antes de este miembro fundamental en esta permutación. Por lo tanto, hay maneras de elegir a estos miembros y, por lo tanto, 8! × órdenes diferentes de los miembros antes del votante decisivo. Habría entonces 6! maneras de elegir a los votantes restantes después del votante decisivo. Como hay un total de 15! permutaciones de 15 votantes, el índice de poder de Shapley-Shubik de un miembro no permanente es: . Por lo tanto, el índice de poder de un miembro permanente es . ${\displaystyle \textstyle {\binom {9}{3}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {9}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\binom {9}{3}}(8!)(6!)}{15!}}={\frac {4}{2145}}}$ ${\displaystyle {\frac {421}{2145}}}$

Implementación de Python

Esta es una implementación simple del ejemplo anterior en Python.

de  matemáticas  importar  factorial ,  pisodef  normalize ( x ): total  =  suma ( x ) return  [ float ( x ) / total  para  x  en  x ]def  enumerate_coalitions ( n ): si  n  ==  0 : rendimiento  [] de lo contrario : para  coalición  en  enumerate_coalitions ( n - 1 ): rendimiento  coalición rendimiento  coalición + [ n ]def  power_index ( asientos ,  umbral = None ): si  umbral  es  None : umbral  =  floor ( suma ( asientos ) / 2 ) + 1 resultado  =  [ 0 ]  *  len ( asientos ) para  coalición  en  enumerate_coalitions ( len ( asientos )  -  1 ): para  pivot  en  range ( len ( asientos )): coalición_asientos  =  suma (  asientos [( pivot  +  i ) % len ( asientos )]  para  i  en  coalición  ) si  ( coalición_asientos  <  umbral  y  umbral  <=  coalición_asientos  +  asientos [ pivot ]): resultado [ pivot ]  +=  factorial ( len ( coalición ))  *  factorial ( len ( asientos )  -  len ( coalición )  -  1 ) return  normalize ( resultado )imprimir ( índice_de_potencia ([ 3 , 2 , 1 , 1 ]))

Véase también

• Valor de Shapley
• Teorema de la flecha
• Índice de potencia de Banzhaf

Referencias

1. Shapley, LS; Shubik, M. (1954). "Un método para evaluar la distribución del poder en un sistema de comités". American Political Science Review . 48 (3): 787–792. doi :10.2307/1951053. hdl : 10338.dmlcz/143361 . JSTOR  1951053. S2CID  143514359.
2. Hu, Xingwei (2006). "Un índice de potencia asimétrico de Shapley-Shubik". Revista internacional de teoría de juegos . 34 (2): 229–240. doi :10.1007/s00182-006-0011-z. S2CID  42120182.
3. Matsui, Tomomi; Matsui, Yasuko (2000). "Un estudio de algoritmos para calcular índices de potencia de juegos de mayoría ponderada" (PDF) . J. Oper. Res. Soc. Japón . 43 (1): 71–86..
4. Varela, Diego; Prado-Dominguez, Javier (1 de enero de 2012). "Negociando el Tratado de Lisboa: redistribución, eficiencia e índices de poder". Revista Económica Checa . 6 (2): 107–124.

Enlaces externos

• Calculadora de índice de potencia en línea (por Tomomi Matsui)
• Algoritmos informáticos para el análisis del poder de voto Algoritmos basados ​​en la web para el análisis del poder de voto
• Calculadora de índice de potencia Calcula varios índices para juegos de votación ponderada (múltiple) en línea. Incluye algunos ejemplos.
• Cálculo del índice de potencia de Shapley-Shubik y del índice de potencia de Banzhaf con Python y R (por Frank Huettner)