Espiral dorada

Curva de autosimilitud relacionada con la proporción áurea

Las espirales áureas son autosimilares . La forma se repite infinitamente cuando se amplía.

En geometría , una espiral áurea es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ , la proporción áurea . ^[1] Es decir, una espiral áurea se ensancha (o se aleja de su origen) por un factor de φ por cada cuarto de vuelta que da.

Aproximaciones de la espiral áurea

Espirales áureas aproximadas y verdaderas: la espiral verde está formada por cuartos de círculo tangentes al interior de cada cuadrado, mientras que la espiral roja es una espiral áurea, un tipo especial de espiral logarítmica . Las porciones superpuestas aparecen en amarillo . La longitud del lado de un cuadrado más grande con respecto al siguiente cuadrado más pequeño está en proporción áurea . Para un cuadrado con una longitud de lado de 1, el siguiente cuadrado más pequeño tiene un ancho de 1/φ . El siguiente ancho es 1/φ² , luego 1/φ³ , y así sucesivamente.

Hay varias espirales comparables que se aproximan, pero no son exactamente iguales, a una espiral áurea. ^[2]

Por ejemplo, una espiral áurea puede aproximarse comenzando con un rectángulo para el cual la razón entre su longitud y anchura es la proporción áurea. Este rectángulo puede luego dividirse en un cuadrado y un rectángulo similar y este rectángulo puede luego dividirse de la misma manera. Después de continuar este proceso por un número arbitrario de pasos, el resultado será una partición casi completa del rectángulo en cuadrados. Las esquinas de estos cuadrados pueden conectarse por cuartos de círculo . El resultado, aunque no es una verdadera espiral logarítmica , se aproxima mucho a una espiral áurea. ^[2]

Otra aproximación es la espiral de Fibonacci , que se construye de forma ligeramente diferente. Una espiral de Fibonacci comienza con un rectángulo dividido en dos cuadrados. En cada paso, se añade al rectángulo un cuadrado de la longitud del lado más largo. Dado que la relación entre los números de Fibonacci consecutivos se acerca a la proporción áurea a medida que los números de Fibonacci se acercan al infinito, esta espiral también se parece más a la aproximación anterior cuanto más cuadrados se añaden, como se ilustra en la imagen.

Espirales en la naturaleza

A veces se afirma erróneamente que las galaxias espirales y las conchas de nautilus se ensanchan en el patrón de una espiral áurea y, por lo tanto, están relacionadas tanto con φ como con la serie de Fibonacci. ^[3] En verdad, muchas conchas de moluscos , incluidas las de nautilus, exhiben un crecimiento en espiral logarítmico, pero en una variedad de ángulos generalmente claramente diferentes de los de la espiral áurea. ^{[4] [5] [6]} Aunque las galaxias espirales a menudo se han modelado como espirales logarítmicas, espirales de Arquímedes o espirales hiperbólicas , sus ángulos de inclinación varían con la distancia desde el centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las que este ángulo no varía), y también en desacuerdo con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlas. ^[7] La ​​filotaxis , el patrón de crecimiento de las plantas, está en algunos casos relacionada con la proporción áurea porque implica hojas o pétalos sucesivos separados por el ángulo áureo . Aunque esto a veces puede asociarse con formas espirales, como en las cabezas de semillas de girasol , ^[8] éstas están más estrechamente relacionadas con las espirales de Fermat que con las espirales logarítmicas. ^[9]

Matemáticas

Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral áurea utilizando arcos de un cuarto de círculo inscritos en cuadrados derivados de la secuencia de Fibonacci .

Una espiral áurea con radio inicial 1 es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas polares que satisfacen donde es la proporción áurea. ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$ ${\displaystyle \varphi }$

La ecuación polar para una espiral áurea es la misma que para otras espirales logarítmicas , pero con un valor especial del factor de crecimiento b : ^[10] o con e siendo la base de los logaritmos naturales , a siendo el radio inicial de la espiral y b tal que cuando θ es un ángulo recto (un cuarto de vuelta en cualquier dirección): $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ $${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$ $${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

Por lo tanto, b viene dado por $${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

La espiral de Lucas se aproxima a la espiral áurea cuando sus términos son grandes, pero no cuando son pequeños. Se incluyen 10 términos, del 2 al 76.

El valor numérico de b depende de si el ángulo recto se mide en 90 grados o en radianes ; y dado que el ángulo puede estar en cualquier dirección, es más fácil escribir la fórmula para el valor absoluto de b (es decir, b también puede ser el negativo de este valor): para θ en grados, o para θ en radianes. ^[11] ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$ $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$

Una fórmula alternativa para una espiral logarítmica y áurea es ^[12] donde la constante c se da por la cual para la espiral áurea se obtienen valores de c de si θ se mide en grados, y si θ se mide en radianes. ^[13] $${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$ $${\displaystyle c=e^{b}}$$ $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$ $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$

Con respecto a las espirales logarítmicas, la espiral áurea tiene la propiedad distintiva de que para cuatro puntos espirales colineales A , B , C , D pertenecientes a argumentos θ , θ + π , θ + 2π , θ + 3π el punto C es el conjugado armónico proyectivo de B con respecto a A , D , es decir, la razón cruzada ( A , D ; B , C ) tiene el valor singular −1. La espiral áurea es la única espiral logarítmica con ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

Pendiente polar

Definición de ángulo de pendiente y sector

En la ecuación polar de una espiral logarítmica : el parámetro b está relacionado con el ángulo de pendiente polar : $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

En una espiral áurea, siendo constante e igual a (para θ en radianes, como se definió anteriormente), el ángulo de pendiente es , por lo tanto , si se mide en grados, o si se mide en radianes. ^[14] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$ $${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$ $${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$

Su ángulo complementario en radianes, o en grados, es el ángulo que forman los brazos de la espiral dorada con una línea desde el centro de la espiral. $${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$ $${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$

Véase también

• Número de Fibonacci
• Angulo dorado
• Proporción áurea
• Rectángulo dorado
• Lista de espirales
• Espiral logarítmica

Referencias

1. Chang, Yu-sung, "Espiral dorada Archivado el 28 de julio de 2019 en Wayback Machine ", The Wolfram Demonstrations Project .
2. Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib y Phi en la música: la forma musical de la proporción áurea. High Art Press. págs. 14-16. ISBN 978-0967172767.
3. Por ejemplo, estos libros: Jan CA Boeyens (2009). Química desde los primeros principios. Springer. p. 261. ISBN 9781402085451., Russell Howell y James Bradley (2011). Matemáticas a través de los ojos de la fe. HarperCollins. pág. 162. ISBN 978-0062024473., Charles Seife (2000). Zero: La biografía de una idea peligrosa . Penguin. pág. 40. ISBN 978-0140296471., Sandra Kynes (2008). Magia marina: Conectando con la energía del océano. Llewellyn Worldwide. pág. 100. ISBN 9780738713533., Bruce Burger (1998). Anatomía esotérica: el cuerpo como conciencia. North Atlantic Books. pág. 144. ISBN 9781556432248.
4. David Darling (2004). El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón. John Wiley & Sons. pág. 188. ISBN 9780471270478.
5. Devlin, Keith (mayo de 2007). «El mito que no desaparecerá». Archivado desde el original el 12 de noviembre de 2020. Consultado el 9 de diciembre de 2013 .
6. Peterson, Ivars (1 de abril de 2005). "Espirales de conchas marinas". Noticias científicas . Sociedad para la ciencia y el público. Archivado desde el original el 3 de octubre de 2012 . Consultado el 8 de octubre de 2011 .
7. Savchenko, SS; Reshetnikov, VP (septiembre de 2013). "Variaciones del ángulo de inclinación en galaxias espirales". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
8. Ridley, JN (febrero de 1982). "Eficiencia de empaquetamiento en cabezas de girasol". Ciencias biológicas matemáticas . 58 (1): 129–139. doi :10.1016/0025-5564(82)90056-6.
9. Vogel, Helmut (junio de 1979). "Una mejor manera de construir la cabeza del girasol". Ciencias biológicas matemáticas . 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
10. Priya Hemenway (2005). Proporción divina: Φ Phi en el arte, la naturaleza y la ciencia . Sterling Publishing Co., págs. 127-129. ISBN 1-4027-3522-7.
11. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A212225". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
12. Klaus Mainzer (1996). Simetrías de la naturaleza: Manual de filosofía de la naturaleza y la ciencia. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
13. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A212224". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
14. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A335605". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.