MV-álgebra

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas puras , un álgebra MV es una estructura algebraica con una operación binaria , una operación unaria y la constante , que satisface ciertos axiomas. Las álgebras MV son la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz ; las letras MV se refieren a la lógica polivalente de Łukasiewicz . Las álgebras MV coinciden con la clase de álgebras BCK conmutativas acotadas . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle 0}$

Definiciones

Un álgebra MV es una estructura algebraica que consta de ${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}$

• un conjunto no vacío ${\displaystyle A,}$
• una operación binaria en ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle A,}$
• una operación unaria en y ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle A,}$
• una constante que denota un elemento fijo de ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A,}$

que satisface las siguientes identidades :

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}$
• ${\displaystyle x\oplus 0=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}$
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}$y
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

En virtud de los tres primeros axiomas, es un monoide conmutativo . Al estar definidas por identidades, las álgebras MV forman una variedad de álgebras. La variedad de álgebras MV es una subvariedad de la variedad de álgebras BL y contiene todas las álgebras de Boole . ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$

Un álgebra MV se puede definir de manera equivalente ( Hájek 1998) como una red residual integral acotada conmutativa prelineal que satisface la identidad adicional ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$ ${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}$

Ejemplos de álgebras MV

Un ejemplo numérico simple es con operaciones y En lógica matemática difusa , esta álgebra MV se denomina álgebra MV estándar , ya que forma la semántica estándar de valores reales de la lógica de Łukasiewicz . ${\displaystyle A=[0,1],}$ ${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$ ${\displaystyle \lnot x=1-x.}$

El álgebra MV trivial tiene como único elemento 0 y las operaciones definidas de la única manera posible, y ${\displaystyle 0\oplus 0=0}$ ${\displaystyle \lnot 0=0.}$

El álgebra MV de dos elementos es en realidad el álgebra booleana de dos elementos que coincide con la disyunción booleana y con la negación booleana. De hecho, agregar el axioma a los axiomas que definen un álgebra MV da como resultado una axiomatización de álgebras de Boole. ${\displaystyle \{0,1\},}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle x\oplus x=x}$

Si, en cambio, el axioma agregado es , entonces los axiomas definen el álgebra MV ₃ correspondiente a la lógica de Łukasiewicz de tres valores Ł ₃ ^{[ cita necesaria ]} . Otras álgebras MV finitas ordenadas linealmente se obtienen restringiendo el universo y las operaciones del álgebra MV estándar al conjunto de números reales equidistantes entre 0 y 1 (ambos incluidos), es decir, el conjunto que está cerrado bajo las operaciones y de el álgebra MV estándar; Estas álgebras suelen denominarse MV _n . ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \lnot }$

Otro ejemplo importante es el álgebra MV de Chang , que consta sólo de infinitesimales (con el tipo de orden ω) y sus co-infinitesimales.

Chang también construyó un álgebra MV a partir de un grupo abeliano G arbitrario totalmente ordenado fijando un elemento positivo u y definiendo el segmento [0, u ] como { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, que se convierte en un álgebra MV con x ⊕ y = min( u , x + y ) y ¬ x = u − x . Además, Chang demostró que todo álgebra MV ordenada linealmente es isomorfa a un álgebra MV construida a partir de un grupo de esta manera.

Daniele Mundici extendió la construcción anterior a grupos abelianos ordenados en celosía . Si G es un grupo con una unidad fuerte (de orden) u , entonces el "intervalo unitario" { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } puede equiparse con ¬ x = u − x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y) y x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y − u ). Esta construcción establece una equivalencia categórica entre grupos abelianos ordenados en celosía con unidad fuerte y álgebras MV.

Un álgebra de efectos ordenada en red y que tiene la propiedad de descomposición de Riesz es un álgebra MV. Por el contrario, cualquier álgebra MV es un álgebra de efectos ordenados en red con la propiedad de descomposición de Riesz. ^[1]

Relación con la lógica de Łukasiewicz

CC Chang ideó álgebras MV para estudiar lógicas multivaluadas , introducidas por Jan Łukasiewicz en 1920. En particular, las álgebras MV forman la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz , como se describe a continuación.

Dada un álgebra MV A , una valoración A es un homomorfismo del álgebra de fórmulas proposicionales (en el lenguaje que consiste en y 0) en A. Las fórmulas asignadas a 1 (es decir, a 0) para todas las valoraciones A se denominan tautologías A. Si se emplea el álgebra MV estándar sobre [0,1], el conjunto de todas las tautologías [0,1] determina la llamada lógica de Łukasiewicz de valores infinitos . ${\displaystyle \oplus ,\lnot ,}$ ${\displaystyle \lnot }$

El teorema de completitud de Chang (1958, 1959) establece que cualquier ecuación de álgebra MV que se cumpla en el álgebra MV estándar durante el intervalo [0,1] se cumplirá en cada álgebra MV. Algebraicamente, esto significa que el álgebra MV estándar genera la variedad de todas las álgebras MV. De manera equivalente, el teorema de completitud de Chang dice que las álgebras MV caracterizan la lógica de Łukasiewicz de valores infinitos , definida como el conjunto de [0,1] -tautologías.

La forma en que el álgebra MV [0,1] caracteriza todas las álgebras MV posibles es paralela al hecho bien conocido de que las identidades que se mantienen en el álgebra booleana de dos elementos se mantienen en todas las álgebras booleanas posibles. Además, las álgebras MV caracterizan la lógica de Łukasiewicz de valores infinitos de una manera análoga a la forma en que las álgebras de Boole caracterizan la lógica bivalente clásica (ver Álgebra de Lindenbaum-Tarski ).

En 1984, Font, Rodríguez y Torrens introdujeron el álgebra de Wajsberg como modelo alternativo para la lógica de Łukasiewicz de valores infinitos. Las álgebras de Wajsberg y las álgebras MV son equivalentes en términos. ^[2]

MV n -álgebras

En la década de 1940, Grigore Moisil introdujo sus álgebras de Łukasiewicz-Moisil (LM _n -álgebras) con la esperanza de dar una semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz (finitamente) con valores n . Sin embargo, en 1956 Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, el álgebra de Łukasiewicz-Moisil no modela la lógica valorada en n de Łukasiewicz. Aunque CC Chang publicó su álgebra MV en 1958, es un modelo fiel sólo para la lógica de Łukasiewicz-Tarski con valores de ℵ ₀ (valores infinitos) . Para las lógicas de Łukasiewicz axiomáticamente más complicadas (finitamente) con valores n , Revaz Grigolia publicó en 1977 álgebras adecuadas y las llamó MV _n -álgebras. ^[3] _{Las n} -álgebras de MV son una subclase de _{las n} -álgebras de LM; la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[4]

Las MV _n -álgebras son álgebras MV que satisfacen algunos axiomas adicionales, al igual que las lógicas de Łukasiewicz con valores n tienen axiomas adicionales agregados a la lógica con valores ℵ _{0 .}

En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que agregadas a las _n -álgebras de LM producen modelos adecuados para la lógica de Łukasiewicz con valores n ; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras de Łukasiewicz propias con valores n . ^[5] Las LM _n -álgebras que también son MV _n -álgebras son precisamente las álgebras de Łukasiewicz con valores n propias de Cignoli . ^[6]

Relación con el análisis funcional.

Daniele Mundici relacionó las álgebras MV con álgebras C* de dimensión aproximadamente finita estableciendo una correspondencia biyectiva entre todas las clases de isomorfismo de álgebras C* de dimensión aproximadamente finita con un grupo de dimensiones ordenado en celosía y todas las clases de isomorfismo de álgebras MV contables. Algunos ejemplos de esta correspondencia incluyen:

en software

Existen múltiples marcos que implementan lógica difusa (tipo II), y la mayoría de ellos implementan lo que se ha llamado lógica multiadjunta . Esto no es más que la implementación de un álgebra MV.

Referencias

1. Foulis, DJ (1 de octubre de 2000). "Álgebras del efecto MV y Heyting". Fundamentos de la Física . 30 (10): 1687-1706. Código bibliográfico : 2000FoPh...30.1687F. doi :10.1023/A:1026454318245. ISSN  1572-9516. S2CID  116763476.
2. "citando a JM Font, AJ Rodríguez, A. Torrens," Wajsberg Algebras ", Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2014 . Consultado el 21 de agosto de 2014 .
3. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de valores múltiples no conmutativas . Saltador. págs. vii-viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
4. Iorgulescu, A.: Conexiones entre MV _n -álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas—I. Matemáticas discretas. 181, 155–177 (1998) doi :10.1016/S0012-365X(97)00052-6
5. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valores n adecuados como álgebras S de cálculos proposicionales con valores n de Łukasiewicz , Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi :10.1007/BF00373490
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2014 . Consultado el 21 de agosto de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

• Chang, CC (1958) "Análisis algebraico de lógicas multivaluadas", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 476–490.
• ------ (1959) "Una nueva prueba de la integridad de los axiomas de Lukasiewicz", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 74–80.
• Cignoli, RLO, D'Ottaviano, IML , Mundici, D. (2000) Fundamentos algebraicos del razonamiento multivaluado . Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Caracterización ecuacional de todas las variedades de álgebras MV", Journal of Algebra 221 : 463–474 doi :10.1006/jabr.1999.7900.
• Hájek, Petr (1998) Metamatemáticas de la lógica difusa . Kluwer.
• Mundici, D.: Interpretación de las álgebras AF C* en el cálculo oracional de Łukasiewicz. J. Función. Anal. 65, 15–63 (1986) doi :10.1016/0022-1236(86)90015-7

Otras lecturas

• Daniele Mundici, MV-ÁLGEBRAS. Un breve tutorial
• D. Mundici (2011). Cálculo avanzado de Łukasiewicz y álgebras MV . Saltador. ISBN 978-94-007-0839-6.
• Mundici, D. Las álgebras C* de la lógica de tres valores. Coloquio de lógica '88, Actas del Coloquio celebrado en Padua 61–77 (1989). doi :10.1016/s0049-237x(08)70262-3
• Cabrer, LM & Mundici, D. Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras MV y grupos ℓ unitales. Revista de Lógica y Computación (2014). doi :10.1093/logcom/exu023
• Olivia Caramello , Anna Carla Russo (2014) La equivalencia de Morita entre álgebras MV y grupos ℓ abelianos con unidad fuerte

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Lógica multivalor", por Siegfried Gottwald .