Álgebra de Zhu

Invariante del álgebra de vértices

En matemáticas, el álgebra de Zhu y el álgebra C ₂ estrechamente relacionada , introducida por Yongchang Zhu en su tesis doctoral, son dos álgebras asociativas construidas canónicamente a partir de un álgebra de operadores de vértice dada . ^{[1] Muchas propiedades} teóricas de representación importantes del álgebra de vértices están relacionadas lógicamente con propiedades de su álgebra de Zhu o álgebra C ₂ .

Definiciones

Sea un álgebra de operadores de vértice graduado con y sea el operador de vértice asociado a Defina como el subespacio abarcado por elementos de la forma para Un elemento es homogéneo con si Hay dos operaciones binarias en definidas por para elementos homogéneos y extendidas linealmente a todos los de . Defina como el espacio abarcado por todos los elementos . ${\displaystyle V=\bigoplus _{n\geq 0}V_{(n)}}$ ${\displaystyle V_{(0)}=\mathbb {C} \mathbf {1} }$ ${\displaystyle Y(a,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}}$ ${\displaystyle a\in V.}$ ${\displaystyle C_{2}(V)\subset V}$ ${\displaystyle a_{-2}b}$ ${\displaystyle a,b\in V.}$ ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle \operatorname {wt} a=n}$ ${\displaystyle a\in V_{(n)}.}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle a*b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-1}b,~~~~~a\circ b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-2}b}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V)\subset V}$ ${\displaystyle a\circ b}$

El álgebra con la operación binaria inducida por es un álgebra asociativa llamada álgebra de Zhu de . ^[1] ${\displaystyle A(V):=V/O(V)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle V}$

El álgebra con multiplicación se llama C ₂ -álgebra de . ${\displaystyle R_{V}:=V/C_{2}(V)}$ ${\displaystyle a\cdot b=a_{-1}b\mod C_{2}(V)}$ ${\displaystyle V}$

Propiedades principales

• La multiplicación del álgebra C ₂ es conmutativa y la operación binaria adicional es un corchete de Poisson que da al álgebra C ₂ la estructura de un álgebra de Poisson . ^[1] ${\displaystyle \{a,b\}=a_{0}b\mod C_{2}(V)}$ ${\displaystyle R_{V}}$
• (Condición de C ₂ -cofinito de Zhu ) Si es de dimensión finita entonces se dice que es C ₂ -cofinito. Hay dos propiedades teóricas de representación principales relacionadas con C ₂ -cofinito. Un álgebra de operadores de vértice es racional si la categoría de módulos admisibles es semisimple y solo hay un número finito de irreducibles. Se conjeturó que la racionalidad es equivalente a C ₂ -cofinito y una condición más fuerte de regularidad, sin embargo esto fue refutado en 2007 por Adamovic y Milas quienes demostraron que el álgebra de operadores de vértice triplete es C ₂ -cofinito pero no racional . ^{[2] [3] [4]} Se conocen varias versiones más débiles de esta conjetura, incluyendo que la regularidad implica C ₂ -cofinito ^[2] y que para C ₂ -cofinito las condiciones de racionalidad y regularidad son equivalentes. ^[5] Esta conjetura es un análogo en las álgebras de vértices del criterio de Cartan para la semisimplicidad en la teoría de las álgebras de Lie porque relaciona una propiedad estructural del álgebra con la semisimplicidad de su categoría de representación . ${\displaystyle R_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• La gradación induce una filtración donde de modo que existe un morfismo sobreyectivo de las álgebras de Poisson . ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A(V)=\bigcup _{p\geq 0}A_{p}(V)}$ ${\displaystyle A_{p}(V)=\operatorname {im} (\oplus _{j=0}^{p}V_{p}\to A(V))}$ ${\displaystyle A_{p}(V)\ast A_{q}(V)\subset A_{p+q}(V).}$ ${\displaystyle R_{V}\to \operatorname {gr} (A(V))}$

Variedad asociada

Debido a que el C ₂ -álgebra es un álgebra conmutativa , se puede estudiar utilizando el lenguaje de la geometría algebraica . El esquema asociado y la variedad asociada de se definen como que son un esquema afín y una variedad algebraica afín respectivamente. ^[7] Además, dado que actúa como una derivación en ^[1] hay una acción de sobre el esquema asociado, lo que genera un esquema cónico de Poisson y una variedad cónica de Poisson. En este lenguaje, la C ₂ -cofinitez es equivalente a la propiedad de que es un punto. ${\displaystyle R_{V}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}:=\operatorname {Spec} (R_{V}),~~~X_{V}:=({\widetilde {X}}_{V})_{\mathrm {red} }}$$ ${\displaystyle L(-1)}$ ${\displaystyle R_{V}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$

Ejemplo: Si es el álgebra W afín asociada al álgebra de Lie afín en el nivel y elemento nilpotente entonces es el corte de Slodowy a través de . ^[8] ${\displaystyle W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}_{W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}={\mathcal {S}}_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Referencias

1. Zhu, Yongchang (1996). "Invariancia modular de caracteres de álgebras de operadores de vértices". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 9 (1): 237–302. doi : 10.1090/s0894-0347-96-00182-8 . ISSN  0894-0347.
2. Li, Haisheng (1999). "Algunas propiedades de finitud de las álgebras de operadores de vértice regulares". Journal of Algebra . 212 (2): 495–514. arXiv : math/9807077 . doi : 10.1006/jabr.1998.7654 . ISSN  0021-8693. S2CID  16072357.
3. Dong, Chongying; Li, Haisheng; Mason, Geoffrey (1997). "Regularidad de álgebras de operadores de vértice racionales". Avances en Matemáticas . 132 (1): 148–166. arXiv : q-alg/9508018 . doi : 10.1006/aima.1997.1681 . ISSN  0001-8708. S2CID  14942843.
4. Adamović, Dražen; Milas, Antún (1 de abril de 2008). "Sobre el álgebra del vértice triplete W (p)". Avances en Matemáticas . 217 (6): 2664–2699. doi : 10.1016/j.aim.2007.11.012 . ISSN  0001-8708.
5. Abe, Toshiyuki; Buhl, Geoffrey; Dong, Chongying (15 de diciembre de 2003). "Racionalidad, regularidad y 𝐶₂-cofiniteness". Transactions of the American Mathematical Society . 356 (8): 3391–3402. doi : 10.1090/s0002-9947-03-03413-5 . ISSN  0002-9947.
6. Arakawa, Tomoyuki; Lam, Ching Hung; Yamada, Hiromichi (2014). "Álgebra de Zhu, álgebra C2 y cofinitud C2 de álgebras de operadores de vértices de parafermión". Avances en Matemáticas . 264 : 261–295. doi : 10.1016/j.aim.2014.07.021 . ISSN  0001-8708. S2CID  119121685.
7. Arakawa, Tomoyuki (20 de noviembre de 2010). "Una observación sobre la condición de cofinidad C 2 en álgebras de vértices". Mathematische Zeitschrift . 270 (1–2): 559–575. arXiv : 1004.1492 . doi :10.1007/s00209-010-0812-4. ISSN  0025-5874. S2CID  253711685.
8. Arakawa, T. (19 de febrero de 2015). "Variedades asociadas de módulos sobre álgebras de Kac-Moody y cofinitez C2 de álgebras W". International Mathematics Research Notices . arXiv : 1004.1554 . doi :10.1093/imrn/rnu277. ISSN  1073-7928.