Álgebra pre-Lie

En matemáticas , un álgebra pre-Lie es una estructura algebraica en un espacio vectorial que describe algunas propiedades de objetos como árboles con raíces y campos vectoriales en el espacio afín .

La noción de álgebra pre-Lie fue introducida por Murray Gerstenhaber en su trabajo sobre deformaciones de álgebras.

Las álgebras pre-Lie han sido consideradas bajo otros nombres, entre los que se pueden citar álgebras simétricas izquierdas, álgebras simétricas derechas o álgebras de Vinberg.

Definición

Un álgebra pre-Lie es un espacio vectorial con una función lineal , que satisface la relación ${\displaystyle (V,\triangleleft )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \triangleleft :V\otimes V\to V}$ ${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft y-x\triangleleft (z\triangleleft y).}$

Esta identidad puede verse como la invariancia del asociador bajo el intercambio de las dos variables y . ${\displaystyle (x,y,z)=(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Toda álgebra asociativa es, por lo tanto, también un álgebra pre-Lie, ya que el asociador se anula de forma idéntica. Aunque más débil que la asociatividad, la relación definitoria de un álgebra pre-Lie implica que el conmutador es un corchete de Lie . En particular, la identidad de Jacobi para el conmutador se deduce del ciclado de los términos en la relación definitoria para las álgebras pre-Lie, antes mencionada. ${\displaystyle x\triangleleft y-y\triangleleft x}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Ejemplos

Campos vectoriales en un espacio afín

Sea un entorno abierto de , parametrizado por variables . Dados los campos vectoriales , definimos . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle u=u_{i}\partial _{x_{i}}}$ ${\displaystyle v=v_{j}\partial _{x_{j}}}$ ${\displaystyle u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\partial _{x_{i}}}$

La diferencia entre y , es que es simétrica en y . Por lo tanto, define una estructura del álgebra anterior a Lie. ${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft w}$ ${\displaystyle u\triangleleft (v\triangleleft w)}$ ${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft w-u\triangleleft (v\triangleleft w)=v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \triangleleft }$

Dada una variedad y homeomorfismos de a vecindarios abiertos superpuestos de , cada uno define una estructura de álgebra de pre-Lie sobre campos vectoriales definidos en la superposición. Si bien no necesariamente concuerdan con , sus conmutadores sí concuerdan: , el corchete de Lie de y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ,\phi '}$ ${\displaystyle U,U'\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \triangleleft ,\triangleleft '}$ ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle \triangleleft '}$ ${\displaystyle u\triangleleft v-v\triangleleft u=u\triangleleft 'v-v\triangleleft 'u=[v,u]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Árboles enraizados

Sea el espacio vectorial libre abarcado por todos los árboles enraizados. ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Se puede introducir un producto bilineal de la siguiente manera. Sean y dos árboles con raíz. ${\displaystyle \curvearrowleft }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$

${\displaystyle \tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {Vertices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$

donde es el árbol enraizado que se obtiene sumando a la unión disjunta de y una arista que va del vértice de al vértice raíz de . ${\displaystyle \tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$

Entonces, se trata de un álgebra libre previa a Lie en un generador. En términos más generales, el álgebra libre previa a Lie en cualquier conjunto de generadores se construye de la misma manera a partir de árboles con cada vértice etiquetado por uno de los generadores. ${\displaystyle (\mathbb {T} ,\curvearrowleft )}$

Referencias

• Chapoton, F.; Livernet, M. (2001), "Álgebras pre-Lie y árboles enraizados operados", International Mathematics Research Notices , 2001 (8): 395–408, doi : 10.1155/S1073792801000198 , MR  1827084.
• Szczesny, M. (2010), Álgebras pre-Lie y categorías de incidencia de árboles con raíces coloreadas , vol. 1007, pág. 4784, arXiv : 1007.4784 , Bibcode :2010arXiv1007.4784S.