Álgebra de Leibniz

En matemáticas , un álgebra de Leibniz (derecha) , llamada así por Gottfried Wilhelm Leibniz , a veces llamada álgebra de Loday , en honor a Jean-Louis Loday , es un módulo L sobre un anillo conmutativo R con un producto bilineal [_, _] que satisface la identidad de Leibniz.

${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].\,}$

En otras palabras, la multiplicación por la derecha de cualquier elemento c es una derivación . Si además el corchete es alterno ([ a ,  a ] = 0) entonces el álgebra de Leibniz es un álgebra de Lie . De hecho, en este caso [ a ,  b ] = −[ b ,  a ] y la identidad de Leibniz es equivalente a la identidad de Jacobi ([ a , [ b ,  c ]] + [ c , [ a ,  b ]] + [ b , [ c ,  a ]] = 0). A la inversa, cualquier álgebra de Lie es obviamente un álgebra de Leibniz.

En este sentido, las álgebras de Leibniz pueden considerarse como una generalización no conmutativa de las álgebras de Lie. La investigación de qué teoremas y propiedades de las álgebras de Lie siguen siendo válidos para las álgebras de Leibniz es un tema recurrente en la literatura. ^[1] Por ejemplo, se ha demostrado que el teorema de Engel sigue siendo válido para las álgebras de Leibniz ^{[2] [3]} y que también es válida una versión más débil del teorema de Lévi-Malcev . ^[4]

El módulo tensorial, T ( V ) , de cualquier espacio vectorial V se puede convertir en un álgebra de Loday tal que

${\displaystyle [a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n},x]=a_{1}\otimes \cdots a_{n}\otimes x\quad {\text{for }}a_{1},\ldots ,a_{n},x\in V.}$

Esta es el álgebra de Loday libre sobre V.

Las álgebras de Leibniz fueron descubiertas en 1965 por A. Bloh, quien las llamó D-álgebras. Atrajeron interés después de que Jean-Louis Loday notara que la función de contorno clásica de Chevalley-Eilenberg en el módulo exterior de un álgebra de Lie puede elevarse al módulo tensorial, lo que produce un nuevo complejo en cadena. De hecho, este complejo está bien definido para cualquier álgebra de Leibniz. La homología HL ( L ) de este complejo en cadena se conoce como homología de Leibniz. Si L es el álgebra de Lie de matrices (infinitas) sobre un R -álgebra asociativa A, entonces la homología de Leibniz de L es el álgebra tensorial sobre la homología de Hochschild de A .

Un álgebra de Zinbiel es el concepto dual de Koszul para un álgebra de Leibniz. Tiene como identidad definitoria:

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)+a\circ (c\circ b).}$

Notas

1. Barnes, Donald W. (julio de 2011). "Algunos teoremas sobre las álgebras de Leibniz". Communications in Algebra . 39 (7): 2463–2472. doi :10.1080/00927872.2010.489529.
2. Patsourakos, Alexandros (26 de noviembre de 2007). "Sobre las propiedades nilpotentes de las álgebras de Leibniz". Communications in Algebra . 35 (12): 3828–3834. doi :10.1080/00927870701509099.
3. Sh. A. Ayupov; BA Omírov (1998). "Sobre las álgebras de Leibniz". En Khakimdjanov, Y.; Goze, M.; Ayupov, Sh. (eds.). Actas del coloquio de álgebra y teoría del operador en Tashkent, 1997 . Dordrecht: Springer. págs. 1-13. ISBN 9789401150729.
4. Barnes, Donald W. (30 de noviembre de 2011). "Sobre el teorema de Levi para las álgebras de Leibniz". Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 86 (2): 184–185. arXiv : 1109.1060 . doi :10.1017/s0004972711002954.

Referencias

• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (1996). "De las álgebras de Poisson a las álgebras de Gerstenhaber". Anales del Instituto Fourier . 46 (5): 1243-1274. doi : 10.5802/aif.1547 .
• Loday, Jean-Louis (1993). "Una versión no conmutativa des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz" (PDF) . Enseña. Matemáticas . Serie 2. 39 (3–4): 269–293.
• Loday, Jean-Louis y Teimuraz, Pirashvili (1993). "Álgebras envolventes universales de álgebras de Leibniz y (co)homología". Annalen Matemáticas . 296 (1): 139-158. CiteSeerX  10.1.1.298.1142 . doi :10.1007/BF01445099. S2CID  16865683.
• Bloh, A. (1965). "Sobre una generalización del concepto de álgebra de Lie". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 165 : 471–3.
• Bloh, A. (1967). "Teoría de homología de Cartan-Eilenberg para una clase generalizada de álgebras de Lie". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 175 (8): 824–6.
• Dzhumadil'daev, AS; Tulenbaev, KM (2005). "Nilpotencia de las álgebras de Zinbiel". J. Dyn. Sistema de control . 11 (2): 195–213. doi :10.1007/s10883-005-4170-1. S2CID  121944962.
• Ginzburg, V .; Kapranov, M. (1994). "Dualidad Koszul para óperas". Duque Matemáticas. J.​ 76 : 203–273. arXiv : 0709.1228 . doi :10.1215/s0012-7094-94-07608-4. S2CID  115166937.