Álgebra de Birmania-Wenzl

Familia de álgebras de dos parámetros con el álgebra de Hecke del grupo simétrico como cociente

En matemáticas , el álgebra de Birman-Murakami-Wenzl (BMW) , introducida por Joan Birman y Hans Wenzl (1989) y Jun Murakami (1987), es una familia de álgebras de dos parámetros de dimensión que tienen como cociente el álgebra de Hecke del grupo simétrico . Está relacionada con el polinomio de Kauffman de un enlace . Es una deformación del álgebra de Brauer de la misma manera que las álgebras de Hecke son deformaciones del álgebra de grupo del grupo simétrico. ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}(\ell ,m)}$ ${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}$

Definición

Para cada número natural n , el álgebra de BMW se genera mediante las relaciones y : ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}(\ell ,m)}$ ${\displaystyle G_{1}^{\pm 1},G_{2}^{\pm 1},\dots ,G_{n-1}^{\pm 1},E_{1},E_{2},\dots ,E_{n-1}}$

${\displaystyle G_{i}G_{j}=G_{j}G_{i},\mathrm {if} \left\vert i-j\right\vert \geq 2,}$

${\displaystyle G_{i}G_{i+1}G_{i}=G_{i+1}G_{i}G_{i+1},}$         ${\displaystyle E_{i}E_{i\pm 1}E_{i}=E_{i},}$

${\displaystyle G_{i}+{G_{i}}^{-1}=m(1+E_{i}),}$

${\displaystyle G_{i\pm 1}G_{i}E_{i\pm 1}=E_{i}G_{i\pm 1}G_{i}=E_{i}E_{i\pm 1},}$      ${\displaystyle G_{i\pm 1}E_{i}G_{i\pm 1}={G_{i}}^{-1}E_{i\pm 1}{G_{i}}^{-1},}$

${\displaystyle G_{i\pm 1}E_{i}E_{i\pm 1}={G_{i}}^{-1}E_{i\pm 1},}$      ${\displaystyle E_{i\pm 1}E_{i}G_{i\pm 1}=E_{i\pm 1}{G_{i}}^{-1},}$

${\displaystyle G_{i}E_{i}=E_{i}G_{i}=l^{-1}E_{i},}$      ${\displaystyle E_{i}G_{i\pm 1}E_{i}=lE_{i}.}$

Estas relaciones implican las relaciones adicionales:

${\displaystyle E_{i}E_{j}=E_{j}E_{i},\mathrm {if} \left\vert i-j\right\vert \geq 2,}$

${\displaystyle (E_{i})^{2}=(m^{-1}(l+l^{-1})-1)E_{i},}$

${\displaystyle {G_{i}}^{2}=m(G_{i}+l^{-1}E_{i})-1.}$

Esta es la definición original dada por Birman y Wenzl. Sin embargo, a veces se hace un ligero cambio introduciendo algunos signos menos, de acuerdo con la versión "Dubrovnik" de Kauffman de su invariante de enlace. De esa manera, la cuarta relación en la versión original de Birman y Wenzl se cambia a

1. (Relación de madeja de Kauffman)

   ${\displaystyle G_{i}-{G_{i}}^{-1}=m(1-E_{i}),}$

Dada la invertibilidad de m , el resto de las relaciones en la versión original de Birman y Wenzl se pueden reducir a

2. (Relación idempotente)

   ${\displaystyle (E_{i})^{2}=(m^{-1}(l-l^{-1})+1)E_{i},}$

3. (Relaciones trenzadas)

   ${\displaystyle G_{i}G_{j}=G_{j}G_{i},{\text{if }}\left\vert i-j\right\vert \geqslant 2,{\text{ and }}G_{i}G_{i+1}G_{i}=G_{i+1}G_{i}G_{i+1},}$

4. (Relaciones enredadas)

   ${\displaystyle E_{i}E_{i\pm 1}E_{i}=E_{i}{\text{ and }}G_{i}G_{i\pm 1}E_{i}=E_{i\pm 1}E_{i},}$

5. (Desbucle de relaciones)

   ${\displaystyle G_{i}E_{i}=E_{i}G_{i}=l^{-1}E_{i}{\text{ and }}E_{i}G_{i\pm 1}E_{i}=lE_{i}.}$

Propiedades

• La dimensión de es . ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}(\ell ,m)}$ ${\displaystyle (2n)!/(2^{n}n!)}$
• El álgebra de Iwahori-Hecke asociada con el grupo simétrico es un cociente del álgebra de Birman-Murakami-Wenzl . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$
• El grupo trenzado de Artin se integra en el álgebra de BMW: . ${\displaystyle B_{n}\hookrightarrow \mathrm {C} _{n}}$

Isomorfismo entre las álgebras de BMW y las álgebras de enredos de Kauffman

Morton y Wassermann (1989) demostraron que el álgebra de BMW es isomorfa al álgebra de enredos de Kauffman . El isomorfismo se define por y ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}(\ell ,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {KT} _{n}}$ ${\displaystyle \phi \colon \mathrm {C} _{n}\to \mathrm {KT} _{n}}$

Baxterización del álgebra de Birman-Murakami-Wenzl

Defina el operador de cara como

${\displaystyle U_{i}(u)=1-{\frac {i\sin u}{\sin \lambda \sin \mu }}(e^{i(u-\lambda )}G_{i}-e^{-i(u-\lambda )}{G_{i}}^{-1})}$,

donde y están determinados por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle 2\cos \lambda =1+(l-l^{-1})/m}$

y

${\displaystyle 2\cos \lambda =1+(l-l^{-1})/(\lambda \sin \mu )}$.

Entonces el operador de cara satisface la ecuación de Yang-Baxter .

${\displaystyle U_{i+1}(v)U_{i}(u+v)U_{i+1}(u)=U_{i}(u)U_{i+1}(u+v)U_{i}(v)}$

Ahora con ${\displaystyle E_{i}=U_{i}(\lambda )}$

${\displaystyle \rho (u)={\frac {\sin(\lambda -u)\sin(\mu +u)}{\sin \lambda \sin \mu }}}$.

En los límites , las trenzas se pueden recuperar hasta un factor de escala . ${\displaystyle u\to \pm i\infty }$ ${\displaystyle {G_{j}}^{\pm }}$

Historia

En 1984, Vaughan Jones introdujo un nuevo invariante polinómico de tipos de isotopía de enlace que se denomina polinomio de Jones . Los invariantes están relacionados con las trazas de representaciones irreducibles de álgebras de Hecke asociadas con los grupos simétricos. Murakami (1987) demostró que el polinomio de Kauffman también puede interpretarse como una función en una determinada álgebra asociativa. En 1989, Birman y Wenzl (1989) construyeron una familia de álgebras de dos parámetros con el polinomio de Kauffman como traza después de la renormalización apropiada. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}(\ell ,m)}$ ${\displaystyle K_{n}(\ell ,m)}$

Referencias

• Birman, Joan S. ; Wenzl, Hans (1989), "Trenzas, polinomios de enlace y una nueva álgebra", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (1), American Mathematical Society: 249–273, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0992598-X , ISSN  0002-9947, JSTOR  2001074, MR  0992598
• Murakami, Jun (1987), "El polinomio de Kauffman de enlaces y la teoría de la representación", Osaka Journal of Mathematics , 24 (4): 745–758, ISSN  0030-6126, MR  0927059
• Morton, Hugh R.; Wassermann, Antony J. (1989). "Una base para el álgebra de Birmania-Wenzl". arXiv : 1012.3116 [math.QA].