Álgebra C* exacta

En matemáticas, un C*-álgebra exacta es un C*-álgebra que preserva secuencias exactas bajo el producto tensorial mínimo.

Definición

Una C*-álgebra E es exacta si, para cualquier secuencia exacta corta ,

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

La secuencia

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {f\otimes \operatorname {id} }}\;B\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {g\otimes \operatorname {id} }}\;C\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {}}\;0,}$

donde ⊗ _{min denota el} producto tensorial mínimo , también es exacto.

Propiedades

• Toda C*-álgebra nuclear es exacta.

• Toda subálgebra C* y todo cociente de una álgebra C* exacta es exacto. Una extensión de álgebras C* exactas no es exacta en general.

• De ello se deduce que cada sub-C*-álgebra de un C*-álgebra nuclear es exacta.

Caracterizaciones

Las C*-álgebras exactas tienen las siguientes caracterizaciones equivalentes:

• El AC*-álgebra A es exacta si y sólo si A es nuclearmente integrable en B ( H ), el C*-álgebra de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert H .

• El AC*-álgebra es exacta si y sólo si cada sub-C*-álgebra separable es exacta.

• Un C*-álgebra A separable es exacta si y sólo si es isomorfa a un subálgebra del álgebra de Cuntz . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$

Referencias

• Brown, Nathanial P.; Ozawa, Narutaka (2008). Álgebras C* y aproximaciones de dimensión finita . Providence: AMS. ISBN 978-0-8218-4381-9.