Álgebra de Cuntz

Álgebra C* universal

En matemáticas , el álgebra de Cuntz , llamada así por Joachim Cuntz , es el C*-álgebra universal generada por isometrías de un espacio de Hilbert de dimensión infinita que satisface ciertas relaciones. ^[1] Estas álgebras se introdujeron como los primeros ejemplos concretos de un C*-álgebra simple infinita separable , es decir, como espacio de Hilbert, es isométrica al espacio de secuencias . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$

y no tiene ideales cerrados no triviales. Estas álgebras son fundamentales para el estudio de C*-álgebras infinitas simples ya que cualquier álgebra de este tipo contiene, para cualquier n dado , una subálgebra que tiene como cociente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Definiciones

Sea n ≥ 2 y un espacio de Hilbert separable . Consideremos el C*-álgebra generado por un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \{S_{i}\}_{i=1}^{n}}$

de isometrías (es decir ) que actúan sobre la satisfacción ${\displaystyle S_{i}^{*}S_{i}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=1.}$

Esta C*-álgebra universal se llama álgebra de Cuntz , denotada por . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Se dice que una C*-álgebra simple es puramente infinita si cada una de sus subálgebras hereditarias es infinita. es una C*-álgebra separable, simple y puramente infinita. Cualquier C*-álgebra simple infinita contiene una subálgebra que tiene como cociente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Propiedades

Clasificación

Las álgebras de Cuntz no son isomorfas por pares , es decir, y no son isomorfas para n ≠ m . El grupo K de es , el grupo cíclico de orden n  − 1. Dado que K ₀ es un funtor , y no son isomorfas. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$

Relación entre las C*-álgebras concretas y las C*-álgebras universales

Teorema. El C*-álgebra concreta es isomorfa al C*-álgebra universal generada por n generadores s ₁ ... s _n sujeta a relaciones s _i *s _i = 1 para todo i y ∑ s _i s _i * = 1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La demostración del teorema depende del siguiente hecho: cualquier C*-álgebra generada por n isometrías s ₁ ... s _n con rangos ortogonales contiene una copia del álgebra UHF tipo n ^∞ . Es decir, está abarcada por palabras de la forma ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},k\geq 0.}$

La subálgebra * , al ser de dimensión aproximadamente finita , tiene una norma C* única. La subálgebra desempeña el papel del espacio de coeficientes de Fourier para los elementos del álgebra. Un lema técnico clave, debido a Cuntz, es que un elemento del álgebra es cero si y solo si todos sus coeficientes de Fourier se anulan. Con esto, se puede demostrar que la función cociente de a es inyectiva , lo que prueba el teorema. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El álgebra UHF tiene un subálgebra no unitaria que es canónicamente isomorfa consigo misma: En la etapa M _n del sistema directo que define , considere la proyección de rango 1 e ₁₁ , la matriz que es 1 en la esquina superior izquierda y cero en el resto. Propague esta proyección a través del sistema directo. En la etapa M _{n ^k} del sistema directo, uno tiene una proyección de rango n ^{k − 1.} En el límite directo , esto da una proyección P en . La esquina ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

es isomorfo a . El *-endomorfismo Φ que se asigna a se implementa mediante la isometría s ₁ , es decir Φ(·) = s ₁ (·) s ₁ *. es de hecho el producto cruzado de con el endomorfismo Φ. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Álgebras de Cuntz para representar sumas directas

Las relaciones que definen las álgebras de Cuntz se alinean con la definición del biproducto para categorías preaditivas . Esta similitud se hace precisa en la categoría C* de *-endomorfismos unitales sobre las C*-álgebras. Los objetos de esta categoría son *-endomorfismos unitales, y los morfismos son los elementos , donde si para cada . Un *-endomorfismo unital es la suma directa de endomorfismos si hay isometrías que satisfacen las relaciones y ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle a:\rho \to \sigma }$ ${\displaystyle a\rho (b)=\sigma (b)a}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle \rho :A\to A}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}}$ ${\displaystyle \{S_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{k=1}^{n}S_{k}\sigma _{k}(x)S_{k}^{*},\forall x\in A.}$

En esta suma directa, los morfismos de inclusión son y los morfismos de proyección son . ${\displaystyle S_{k}:\sigma _{k}\to \rho }$ ${\displaystyle S_{k}^{*}:\rho \to \sigma _{k}}$

Generalizaciones

Las álgebras de Cuntz se han generalizado de muchas maneras. Entre ellas, destacan las álgebras de Cuntz-Krieger, las C*-álgebras de grafos y las C*-álgebras de k-grafos .

Matemáticas aplicadas

En el procesamiento de señales , un filtro de subbanda con reconstrucción exacta da lugar a representaciones de un álgebra de Cuntz. El mismo filtro también proviene de la construcción del análisis multirresolución en la teoría de wavelets . ^[2]

Véase también

• Álgebra C* de dimensión aproximadamente finita
• Módulo C* de Hilbert

Referencias

1. Cuntz, Joachim (1977). "Álgebras $C^*$ simples generadas por isometrías". Comunicaciones en Física Matemática . 57 (2): 173–185. ISSN  0010-3616.
2. Jørgensen, Palle ET; Treadway, Brian. Análisis y probabilidad: wavelets, señales, fractales . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 234. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-29519-4.