Teorema del subgrupo de Kurosh

Teorema matemático para la estructura algebraica de subgrupos de productos libres

En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de subgrupos de Kurosh describe la estructura algebraica de subgrupos de productos libres de grupos . El teorema fue obtenido por Alexander Kurosh , un matemático ruso, en 1934. ^[1] Informalmente, el teorema dice que cada subgrupo de un producto libre es en sí mismo un producto libre de un grupo libre y de sus intersecciones con los conjugados de los factores de el producto original gratuito.

Historia y generalizaciones

Después de la demostración original de Kurosh de 1934, hubo muchas demostraciones posteriores del teorema del subgrupo de Kurosh, incluidas las demostraciones de Harold W. Kuhn (1952), ^[2] Saunders Mac Lane (1958) ^[3] y otros. El teorema también se generalizó para describir subgrupos de productos libres fusionados y extensiones HNN . ^{[4] [5]} Otras generalizaciones incluyen la consideración de subgrupos de productos profinitos libres ^[6] y una versión del teorema de subgrupos de Kurosh para grupos topológicos . ^[7]

En términos modernos, el teorema del subgrupo de Kurosh es un corolario sencillo de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre sobre los grupos que actúan sobre los árboles . ^[8]

Declaración del teorema

Sea el producto libre de los grupos A y B y sea un subgrupo de G . Entonces existe una familia de subgrupos , una familia de subgrupos , familias y de elementos de G , y un subconjunto tal que ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle A_{i}\leq A}$ ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle B_{j}\leq B}$ ${\displaystyle g_{i},i\in I}$ ${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle X\subseteq G}$

${\displaystyle H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{j\in J}f_{j}B_{j}f_{j}^{-1}).}$

Esto significa que X genera libremente un subgrupo de G isomorfo al grupo libre F ( X ) con base libre X y que, además, g _i A _i g _i ⁻¹ , f _j B _j f _j ⁻¹ y X generan H en G como producto gratuito del formulario anterior.

Existe una generalización de esto al caso de productos gratuitos con muchos factores arbitrarios. ^[9] Su formulación es:

Si H es un subgrupo de ∗ _i∈I G _i = G , entonces

${\displaystyle H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1}),}$

donde X ⊆ G y J es algún conjunto de índices y g _j ∈ G y cada H _j es un subgrupo de algún G _i .

Prueba utilizando la teoría de Bass-Serre

El teorema del subgrupo de Kurosh se desprende fácilmente de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre , como se explica, por ejemplo, en el libro de Cohen (1987): ^[8]

Sea G = A ∗ B y considere G como el grupo fundamental de un gráfico de grupos Y que consta de una única arista sin bucle con los grupos de vértices A y B y con el grupo de aristas trivial. Sea X el árbol de cobertura universal de Bass-Serre para la gráfica de grupos Y. Dado que H ≤ G también actúa sobre X , considere la gráfica del cociente de grupos Z para la acción de H sobre X. Los grupos de vértices de Z son subgrupos de G -estabilizadores de vértices de X , es decir, están conjugados en G a subgrupos de A y B. Los grupos de aristas de Z son triviales ya que los G -estabilizadores de las aristas de X eran triviales. Según el teorema fundamental de la teoría de Bass-Serre, H es canónicamente isomorfo al grupo fundamental del gráfico de grupos Z. Dado que los grupos de aristas de Z son triviales, se deduce que H es igual al producto libre de los grupos de vértices de Z y el grupo libre F ( X ), que es el grupo fundamental (en el sentido topológico estándar) del gráfico subyacente Z. de Z. ​Esto implica la conclusión del teorema del subgrupo de Kurosh.

Extensión

El resultado se extiende al caso de que G sea el producto amalgamado a lo largo de un subgrupo común C , bajo la condición de que H se encuentre con cada conjugado de C sólo en el elemento identidad. ^[10]

Ver también

• extensión HNN
• Teoría de grupos geométricos
• Teorema de Nielsen-Schreier

Referencias

1. Alexander Kurosh , Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Mathematische Annalen , vol. 109 (1934), págs. 647–660.
2. Harold W. Kuhn. Teoremas de subgrupos para grupos presentados por generadores y relaciones. Anales de Matemáticas (2), 56 (1952), 22–46
3. Saunders Mac Lane , Una prueba del teorema de subgrupos para productos libres, Mathematika , 5 (1958), 13-19
4. Abraham Karrass y Donald Solitar, Los subgrupos de un producto libre de dos grupos con un subgrupo fusionado. Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , vol. 150 (1970), págs. 227–255.
5. Abraham Karrass y Donald Solitar, Subgrupos de grupos HNN y grupos con una relación definitoria . Revista Canadiense de Matemáticas , 23 (1971), 627–643.
6. Zalesskii, Pavel Aleksandrovich (1990). "[Subgrupos abiertos de productos lucrativos libres sobre un espacio lucrativo de índices]". Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 34 (1): 17–20.
7. Peter Nickolas, Un teorema de subgrupo de Kurosh para grupos topológicos. Actas de la Sociedad Matemática de Londres (3), 42 (1981), no. 3, 461–477. Señor 0614730
8. Daniel E. Cohen. Teoría combinatoria de grupos: un enfoque topológico. Textos estudiantiles de la London Mathematical Society , 14. Cambridge University Press , Cambridge, 1989. ISBN 0-521-34133-7 ; 0-521-34936-2 
9. William S. Massey , Topología algebraica: una introducción, Textos de posgrado en matemáticas , Springer-Verlag , Nueva York, 1977, ISBN 0-387-90271-6 ; págs. 218-225 
10. Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Saltador. págs. 56–57. ISBN 3-540-44237-5.