Teorema del borde de la cuña

Teorema de las continuaciones analíticas.

En matemáticas , el teorema del borde de la cuña de Bogoliubov implica que las funciones holomorfas en dos "cuñas" con un "borde" en común son continuaciones analíticas entre sí siempre que ambas den la misma función continua en el borde. Se utiliza en la teoría cuántica de campos para construir la continuación analítica de las funciones de Wightman . La formulación y la primera demostración del teorema fueron presentadas ^{[1] [2]} por Nikolay Bogoliubov en la Conferencia Internacional de Física Teórica, Seattle, EE.UU. (septiembre de 1956) y también publicadas en el libro Problemas en la teoría de las relaciones de dispersión . ^[3] Res Jost y Harry Lehmann (1957), ^[4] Freeman Dyson (1958), H. Epstein (1960) y otros investigadores dieron más pruebas y generalizaciones del teorema .

El caso unidimensional

Valores límite continuos

En una dimensión, un caso simple del teorema del borde de la cuña se puede expresar de la siguiente manera.

• Supongamos que f es una función continua de valores complejos en el plano complejo que es holomorfa en el semiplano superior y en el semiplano inferior . Entonces es holomorfo en todas partes.

En este ejemplo, las dos cuñas son el semiplano superior y el semiplano inferior, y su borde común es el eje real . Este resultado se puede demostrar a partir del teorema de Morera . De hecho, una función es holomorfa siempre que su integral alrededor de cualquier contorno desaparezca; un contorno que cruza el eje real se puede dividir en contornos en los semiplanos superior e inferior y la integral alrededor de estos desaparece por hipótesis. ^{[5] [6]}

Valores de límites distributivos en un círculo

El caso más general se expresa en términos de distribuciones. ^{[7] [8]} Esto es técnicamente más simple en el caso en que el límite común es el círculo unitario en el plano complejo. En ese caso funciones holomorfas f , g en las regiones y tienen expansiones de Laurent ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle r<|z|<1}$ ${\displaystyle 1<|z|<R}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}z^{n}}$

absolutamente convergentes en las mismas regiones y tienen valores límite de distribución dados por la serie formal de Fourier

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta },\,\,\,\,g(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}e^{in\theta }.}$

Sus valores de frontera distribucional son iguales si para todo n . Es entonces elemental que la serie común de Laurent converja absolutamente en toda la región . ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$ ${\displaystyle r<|z|<R}$

Valores de límites distributivos en un intervalo

En general, dado un intervalo abierto en el eje real y funciones holomorfas definidas y que satisfacen ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle f_{+},\,\,\ f_{-}}$ ${\displaystyle (a,b)\times (0,R)}$ ${\displaystyle (a,b)\times (-R,0)}$

${\displaystyle |f_{\pm }(x+iy)|<C|y|^{-N}}$

para algún número entero no negativo N , los valores límite de se pueden definir como distribuciones en el eje real mediante las fórmulas ^{[9] [8]} ${\displaystyle T_{\pm }}$ ${\displaystyle f_{\pm }}$

${\displaystyle \langle T_{\pm },\varphi \rangle =\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int f(x\pm i\varepsilon )\varphi (x)\,dx.}$

La existencia se puede probar observando que, según la hipótesis, es la -ésima derivada compleja de una función holomorfa que se extiende a una función continua en el límite. Si f se define por encima y por debajo del eje real y F es la distribución definida en el rectángulo por la fórmula ${\displaystyle f_{\pm }(z)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

${\displaystyle \langle F,\varphi \rangle =\iint f(x+iy)\varphi (x,y)\,dx\,dy,}$

entonces F es igual fuera del eje real y la distribución es inducida por la distribución en el eje real. ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle F_{\overline {z}}}$ ${\textstyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$

En particular, si se aplican las hipótesis del teorema del borde de la cuña, es decir , entonces ${\displaystyle T_{+}=T_{-}}$

${\displaystyle F_{\overline {z}}=0.}$

Por regularidad elíptica se deduce que la función F es holomorfa en . ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

En este caso, la regularidad elíptica se puede deducir directamente del hecho de que se sabe que proporciona una solución fundamental para el operador de Cauchy-Riemann . ^[10] ${\displaystyle (\pi z)^{-1}}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\overline {z}}}$

Utilizando la transformada de Cayley entre el círculo y la recta real, este argumento se puede reformular de manera estándar en términos de series de Fourier y espacios de Sobolev en el círculo. De hecho, sean y funciones holomorfas definidas exterior e interior de algún arco en el círculo unitario de manera que localmente tengan límites radiales en algún espacio de Sobolev. Entonces, dejando ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle D=z{\partial \over \partial z},}$

las ecuaciones

${\displaystyle D^{k}F=f,\,\,\,D^{k}G=g}$

se puede resolver localmente de tal manera que los límites radiales de G y F tiendan localmente a la misma función en un espacio de Sobolev superior. Para k lo suficientemente grande, esta convergencia es uniforme según el teorema de incorporación de Sobolev . Según el argumento a favor de funciones continuas, F y G , por lo tanto, se parchean para dar una función holomorfa cerca del arco y, por lo tanto, también lo hacen f y g .

El caso general

Una cuña es producto de un cono con algún conjunto.

Sea un cono abierto en el espacio vectorial real , con vértice en el origen. Sea E un subconjunto abierto de , llamado arista. Escriba W para la cuña en el espacio vectorial complejo y escriba W' para la cuña opuesta . Luego las dos cuñas W y W' se encuentran en el borde E , donde identificamos E con el producto de E con la punta del cono. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E\times iC}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E\times -iC}$

• Supongamos que f es una función continua en la unión que es holomorfa en ambas cuñas W y W' . Entonces, el teorema del borde de la cuña dice que f también es holomorfa en E (o más precisamente, puede extenderse a una función holomorfa en una vecindad de E ). ${\displaystyle W\cup E\cup W'}$

Las condiciones para que el teorema sea verdadero pueden debilitarse. No es necesario suponer que f está definida en el conjunto de las cuñas: basta con suponer que está definida cerca del borde. Tampoco es necesario suponer que f está definida o es continua en el borde: es suficiente asumir que las funciones definidas en cualquiera de las cuñas tienen los mismos valores de límite de distribución en el borde.

Aplicación a la teoría cuántica de campos.

En la teoría cuántica de campos, las distribuciones de Wightman son valores límite de las funciones de Wightman W ( z ₁ , ...,  z _n ) que dependen de las variables z _i en la complejización del espacio-tiempo de Minkowski. Están definidos y son holomorfos en la cuña donde la parte imaginaria de cada z _i − z _{i −1} se encuentra en el cono temporal abierto positivo. Al permutar las variables obtenemos n ! diferentes funciones de Wightman definidas en n ! diferentes cuñas. Al aplicar el teorema del borde de la cuña (con el borde dado por el conjunto de puntos totalmente espaciales), se puede deducir que las funciones de Wightman son todas continuaciones analíticas de la misma función holomorfa, definida en una región conectada que contiene todos los n . porciones. (La igualdad de los valores límite en el borde que necesitamos para aplicar el teorema del borde de la cuña se deriva del axioma de localidad de la teoría cuántica de campos).

Conexión con hiperfunciones

El teorema del borde de la cuña tiene una interpretación natural en el lenguaje de las hiperfunciones . Una hiperfunción es aproximadamente una suma de valores límite de funciones holomorfas , y también puede considerarse como algo así como una "distribución de orden infinito". El conjunto de frentes de onda analíticos de una hiperfunción en cada punto es un cono en el espacio cotangente de ese punto, y se puede considerar que describe las direcciones en las que se mueve la singularidad en ese punto.

En el teorema del borde de la cuña, tenemos una distribución (o hiperfunción) f en el borde, dada como los valores límite de dos funciones holomorfas en las dos cuñas. Si una hiperfunción es el valor límite de una función holomorfa en una cuña, entonces su conjunto de frentes de onda analíticos se encuentra en el dual del cono correspondiente. Entonces, el conjunto de frentes de onda analíticos de moscas se encuentra en los duales de dos conos opuestos. Pero la intersección de estos duales está vacía, por lo que el conjunto de frentes de onda analíticos de f está vacío, lo que implica que f es analítico. Este es el teorema del borde de la cuña.

En la teoría de las hiperfunciones existe una extensión del teorema del borde de la cuña al caso en que hay varias cuñas en lugar de dos, llamado teorema del borde de la cuña de Martineau . Consulte el libro de Hörmander para más detalles.

Notas

1. Vladimirov, VS (1966), Métodos de la teoría de funciones de muchas variables complejas , Cambridge, Mass.: MIT Press
2. VS Vladimirov , VV Zharinov, AG Sergeev (1994). "Teorema del “borde de la cuña” de Bogolyubov, su desarrollo y aplicaciones", Russian Math. Encuestas , 49 (5): 51—65.
3. Bogoliubov, NN ; Medvédev, BV; Polivanov, MK (1958), Problemas en la teoría de las relaciones de dispersión , Princeton: Institute for Advanced Study Press
4. Jost, R.; Lehmann, H. (1957). "Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren". Nuevo Cimento . 5 (6): 1598-1610. Código bibliográfico : 1957NCim....5.1598J. doi :10.1007/BF02856049. S2CID  123500326.
5. Rudin 1971
6. Streater y Wightman 2000
7. Hörmander 1990, págs. 63–65, 343–344
8. Berenstein y Gay 1991, págs. 256-265
9. Hörmander 1990, págs. 63–66
10. Hörmander 1990, págs.63, 81, 110

Referencias

• Berenstein, Carlos A.; Gay, Roger (1991), Variables complejas: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 125 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4

Otras lecturas

• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, IT (1975), Introducción a la teoría cuántica de campos axiomática , Serie de monografías de física matemática, vol. 18, Reading, Massachusetts : WA Benjamín, ISBN 978-0-8053-0982-9, Zbl  1114.81300.
• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Oksak, AI; IT, Todorov (1990), Principios generales de la teoría cuántica de campos, física matemática y matemáticas aplicadas, vol. 10, Dordrecht - Boston - Londres : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8, Zbl  0732.46040

La conexión con las hiperfunciones se describe en:

• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2 ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9, Zbl  0712.35001.
• Rudin, Walter (1971), Conferencias sobre el teorema del borde de la cuña , Serie de conferencias regionales de matemáticas CMBS, vol. 6, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1655-4, SEÑOR  0310288, Zbl  0214.09001

Para la aplicación del teorema del borde de la cuña a la teoría cuántica de campos, consulte:

• Streamer, RF ; Wightman, AS (2000), PCT, Spin and Statistics, y todo eso, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics (1978 ed.), Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9, Zbl  1026.81027

• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Teorema de Bogolyubov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press