Teorema de extensión de Kolmogorov

Un conjunto consistente de distribuciones de dimensión finita definirá un proceso estocástico

En matemáticas , el teorema de extensión de Kolmogorov (también conocido como teorema de existencia de Kolmogorov , teorema de consistencia de Kolmogorov o teorema de Daniell-Kolmogorov ) es un teorema que garantiza que una colección adecuadamente "consistente" de distribuciones de dimensión finita definirá un proceso estocástico . Se le atribuye al matemático inglés Percy John Daniell y al matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov . ^[1]

Declaración del teorema

Denotemos algún intervalo (considerado " tiempo ") y dejemos . Para cada secuencia finita de tiempos distintos , sea una medida de probabilidad Supongamos que estas medidas satisfacen dos condiciones de consistencia: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}.}$

1. para todas las permutaciones de conjuntos medibles , ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. para todos los conjuntos mensurables , ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

Entonces existe un espacio de probabilidad y un proceso estocástico tal que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

para todos , y conjuntos medibles , es decir, tiene como distribuciones de dimensión finita relativas a los tiempos . ${\displaystyle t_{i}\in T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$

De hecho, siempre es posible tomar como espacio de probabilidad subyacente y tomar como proceso canónico . Por lo tanto, una forma alternativa de enunciar el teorema de extensión de Kolmogorov es que, siempre que se cumplan las condiciones de consistencia anteriores, existe una medida (única) con marginales para cualquier colección finita de tiempos . El teorema de extensión de Kolmogorov se aplica cuando es incontable, pero el precio a pagar por este nivel de generalidad es que la medida sólo se define sobre el producto σ-álgebra de , que no es muy rico. ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$

Explicación de las condiciones.

Las dos condiciones requeridas por el teorema se satisfacen trivialmente mediante cualquier proceso estocástico. Por ejemplo, considere un proceso estocástico de tiempo discreto con valor real . Entonces la probabilidad se puede calcular como o como . Por lo tanto, para que las distribuciones de dimensión finita sean consistentes, debe cumplirse que . La primera condición generaliza esta afirmación para que sea válida para cualquier número de puntos temporales y para cualquier conjunto de control . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})}$ ${\displaystyle \nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Siguiendo con el ejemplo, la segunda condición implica que . Además, esta es una condición trivial que será satisfecha por cualquier familia consistente de distribuciones de dimensión finita. ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$

Implicaciones del teorema

Dado que las dos condiciones se satisfacen trivialmente para cualquier proceso estocástico, el poder del teorema es que no se requieren otras condiciones: para cualquier familia razonable (es decir, consistente) de distribuciones de dimensión finita, existe un proceso estocástico con estas distribuciones.

El enfoque teórico de la medida de los procesos estocásticos comienza con un espacio de probabilidad y define un proceso estocástico como una familia de funciones en este espacio de probabilidad. Sin embargo, en muchas aplicaciones el punto de partida son realmente las distribuciones de dimensión finita del proceso estocástico. El teorema dice que siempre que las distribuciones de dimensión finita satisfagan los requisitos de consistencia obvios, siempre se puede identificar un espacio de probabilidad que coincida con el propósito. En muchas situaciones, esto significa que no es necesario ser explícito acerca de qué es el espacio de probabilidad. De hecho, muchos textos sobre procesos estocásticos asumen un espacio de probabilidad pero nunca establecen explícitamente cuál es.

El teorema se utiliza en una de las pruebas estándar de existencia de un movimiento browniano , al especificar que las distribuciones de dimensión finita sean variables aleatorias gaussianas, que satisfacen las condiciones de consistencia anteriores. Como en la mayoría de las definiciones del movimiento browniano, se requiere que las trayectorias de la muestra sean continuas casi con seguridad, y luego se usa el teorema de continuidad de Kolmogorov para construir una modificación continua del proceso construido por el teorema de extensión de Kolmogorov.

Forma general del teorema

El teorema de extensión de Kolmogorov nos da condiciones para que un conjunto de medidas en espacios euclidianos sean distribuciones de dimensión finita de algún proceso estocástico valorado, pero la suposición de que el espacio de estados sea es innecesaria. De hecho, cualquier colección de espacios mensurables junto con una colección de medidas regulares internas definidas sobre los productos finitos de estos espacios sería suficiente, siempre que estas medidas satisfagan una cierta relación de compatibilidad. El enunciado formal del teorema general es el siguiente. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea cualquier conjunto. Sea una colección de espacios medibles y, para cada uno , sea una topología de Hausdorff en . Para cada subconjunto finito , defina ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle J\subset T}$

${\displaystyle \Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}}$.

Para subconjuntos , denotemos el mapa de proyección canónico . ${\displaystyle I\subset J\subset T}$ ${\displaystyle \pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}}$ ${\displaystyle \omega \mapsto \omega |_{I}}$

Para cada subconjunto finito , supongamos que tenemos una medida de probabilidad que es internamente regular con respecto a la topología del producto (inducida por ) en . Supongamos también que esta colección de medidas satisface la siguiente relación de compatibilidad: para subconjuntos finitos , tenemos que ${\displaystyle F\subset T}$ ${\displaystyle \mu _{F}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \{\mu _{F}\}}$ ${\displaystyle F\subset G\subset T}$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$

donde denota la medida de empuje hacia adelante inducida por el mapa de proyección canónico . ${\displaystyle (\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \pi _{F}^{G}}$

Entonces existe una medida de probabilidad única tal que para cada subconjunto finito . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$ ${\displaystyle F\subset T}$

Como observación, todas las medidas se definen en el álgebra sigma del producto en sus respectivos espacios, que (como se mencionó anteriormente) es bastante tosco. En ocasiones, la medida se puede extender apropiadamente a un álgebra sigma más grande, si hay una estructura adicional involucrada. ${\displaystyle \mu _{F},\mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Tenga en cuenta que el enunciado original del teorema es solo un caso especial de este teorema con para todos y para . El proceso estocástico sería simplemente el proceso canónico , definido con medida de probabilidad . La razón por la que el enunciado original del teorema no menciona la regularidad interna de las medidas es que esto se seguiría automáticamente, ya que las medidas de probabilidad de Borel en espacios polacos son automáticamente radón . ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle P=\mu }$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$

Este teorema tiene muchas consecuencias de gran alcance; por ejemplo se puede utilizar para acreditar la existencia de, entre otros, los siguientes:

• Movimiento browniano, es decir, el proceso de Wiener .
• una cadena de Markov que toma valores en un espacio de estados dado con una matriz de transición dada,
• productos infinitos de espacios de probabilidad (internos-regulares).

Historia

Según John Aldrich, el teorema fue descubierto de forma independiente por el matemático británico Percy John Daniell en el contexto ligeramente diferente de la teoría de la integración. ^[3]

Referencias

1. Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. pag. 11.ISBN​ 3-540-04758-1.
2. Tao, T. (2011). Introducción a la teoría de la medida. Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 126. Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 195.ISBN​ 978-0-8218-6919-2.
3. J. Aldrich, pero hay que recordar a PJ Daniell de Sheffield, Revista electrónica de historia de la probabilidad y la estadística, vol. 3, número 2, 2007

enlaces externos

• Aldrich, J. (2007) "Pero hay que recordar a PJDaniell de Sheffield" Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics, diciembre de 2007.