Teorema de Borsuk-Ulam

Teorema en topología

Antípoda

En matemáticas , el teorema de Borsuk-Ulam establece que toda función continua desde una n -esfera al espacio n euclidiano asigna algún par de puntos antípodas al mismo punto. Aquí, dos puntos en una esfera se llaman antípodas si están en direcciones exactamente opuestas al centro de la esfera.

Formalmente: si es continuo entonces existe tal que: . ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

El caso se puede ilustrar diciendo que siempre existen un par de puntos opuestos en el ecuador de la Tierra con la misma temperatura. Lo mismo ocurre con cualquier círculo. Esto supone que la temperatura varía continuamente en el espacio, lo que, sin embargo, no siempre es así. ^[1] ${\displaystyle n=1}$

El caso se ilustra a menudo diciendo que en cualquier momento siempre hay un par de puntos antípodas en la superficie de la Tierra con temperaturas iguales y presiones barométricas iguales, suponiendo que ambos parámetros varían continuamente en el espacio. ${\displaystyle n=2}$

El teorema de Borsuk-Ulam tiene varios enunciados equivalentes en términos de funciones impares . Recuerde que es la n -esfera y es la n -bola : ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

• Si es una función impar continua, entonces existe una tal que: . ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=0}$
• Si es una función continua que es impar en (el límite de ), entonces existe tal que: . ${\displaystyle g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle B^{n}}$ ${\displaystyle x\in B^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=0}$

Historia

Según Matoušek (2003, p. 25), la primera mención histórica del enunciado del teorema de Borsuk-Ulam aparece en Lyusternik & Shnirel'man (1930). La primera prueba la dio Karol Borsuk  (1933), donde se atribuyó la formulación del problema a Stanisław Ulam . Desde entonces, varios autores han encontrado muchas pruebas alternativas, como recoge Steinlein (1985).

Declaraciones equivalentes

Las siguientes afirmaciones son equivalentes al teorema de Borsuk-Ulam. ^[2]

Con funciones impares

Una función se llama impar (también conocida como antípoda o preservadora de antípodas ) si para cada :. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(-x)=-g(x)}$

El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: Una función impar continua desde una n -esfera al espacio n euclidiano tiene un cero. PRUEBA:

• Si el teorema es correcto, entonces es específicamente correcto para funciones impares y para una función impar, si y solo . Por tanto, toda función continua impar tiene un cero. ${\displaystyle g(-x)=g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=0}$
• Para toda función continua , la siguiente función es continua e impar: . Si toda función continua impar tiene un cero, entonces tiene un cero y, por lo tanto, . Por tanto el teorema es correcto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

Con retracciones

Definir una retracción como una función El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: no hay retracción impar continua. ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.}$

Prueba: si el teorema es correcto, entonces toda función impar continua de debe incluir 0 en su rango. Sin embargo, no puede haber una función impar continua cuyo rango sea . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle 0\notin S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Por el contrario, si es incorrecto, entonces hay una función impar continua sin ceros. Entonces podemos construir otra función impar así: ${\displaystyle g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$ ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}$

ya que no tiene ceros, está bien definido y es continuo. Así tenemos una retracción impar continua. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Pruebas

caso unidimensional

El caso unidimensional se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema del valor intermedio (IVT).

Sea la función continua impar de valor real en un círculo definido por . Elija un arbitrario . Si entonces hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad, pero por lo tanto, según la IVT, hay un punto entre y en el cual . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle g(x)>0.}$ ${\displaystyle g(-x)<0.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle g(y)=0}$

Caso general

Prueba topológica algebraica

Supongamos que es una función continua impar con (el caso se trata anteriormente, el caso se puede manejar utilizando la teoría de cobertura básica ). Al pasar a órbitas bajo la acción antípoda, obtenemos una función continua inducida entre espacios proyectivos reales , que induce un isomorfismo en grupos fundamentales . Según el teorema de Hurewicz , el homomorfismo de anillo inducido en cohomología con coeficientes [donde denota el campo con dos elementos ], ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}$

envía a . Pero luego obtenemos que se envía a , una contradicción. ^[3] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b^{n}=0}$ ${\displaystyle a^{n}\neq 0}$

También se puede demostrar la afirmación más contundente de que cualquier aplicación impar tiene grado impar y luego deducir el teorema a partir de este resultado. ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$

Prueba combinatoria

El teorema de Borsuk-Ulam se puede demostrar a partir del lema de Tucker . ^{[2] [4] [5]}

Sea una función impar continua. Como g es continua en un dominio compacto , es uniformemente continua . Por lo tanto, para cada , existe tal que, por cada dos puntos que están uno dentro del otro, sus imágenes bajo g están una dentro de la otra. ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Defina una triangulación de con aristas de longitud como máximo . Etiquete cada vértice de la triangulación con una etiqueta de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}}$

• El valor absoluto de la etiqueta es el índice de la coordenada con el valor absoluto más alto de g :. ${\displaystyle |l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)}$
• El signo de la etiqueta es el signo de g , de modo que: . ${\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|}$

Como g es impar, el etiquetado también es impar: . Por tanto, según el lema de Tucker, hay dos vértices adyacentes con etiquetas opuestas. Supongamos que las etiquetas son . Según la definición de l , esto significa que en ambos y , la coordenada #1 es la coordenada más grande: en esta coordenada es positiva mientras que en es negativa. Por la construcción de la triangulación, la distancia entre y es como máximo , entonces en particular (ya que y tienen signos opuestos) y entonces . Pero como la coordenada más grande de es la coordenada #1, esto significa que para cada . Entonces , ¿dónde hay alguna constante dependiendo de la norma que haya elegido? ${\displaystyle l(-v)=-l(v)}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle l(u)=1,l(v)=-1}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle g(u)_{1}}$ ${\displaystyle g(v)_{1}}$ ${\displaystyle |g(u)_{1}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle |g(u)_{k}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle |g(u)|\leq c_{n}\epsilon }$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Lo anterior es cierto para todos ; dado que es compacto, debe haber un punto u en el que . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle |g(u)|=0}$

Corolarios

• Ningún subconjunto de es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$
• El teorema del sándwich de jamón : Para cualquier conjunto compacto A ₁ , ..., An _siempre podemos encontrar un hiperplano que divida cada uno de ellos en dos subconjuntos de igual medida . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Resultados equivalentes

Arriba mostramos cómo demostrar el teorema de Borsuk-Ulam a partir del lema de Tucker. Lo contrario también es cierto: es posible demostrar el lema de Tucker a partir del teorema de Borsuk-Ulam. Por tanto, estos dos teoremas son equivalentes. Hay varios teoremas de punto fijo que vienen en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica , una variante combinatoria y una variante de cobertura de conjuntos. Cada variante se puede demostrar por separado utilizando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también se puede reducir a las demás variantes de su fila. Además, cada resultado de la fila superior se puede deducir del que se encuentra debajo en la misma columna. ^[6]

Generalizaciones

• En el teorema original, el dominio de la función f es la unidad n -esfera (el límite de la unidad n -bola). En general, también es cierto cuando el dominio de f es el límite de cualquier subconjunto simétrico acotado abierto que contenga el origen (aquí, simétrico significa que si x está en el subconjunto, entonces - x también está en el subconjunto). ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Considere la función A que asigna un punto a su punto antípoda: Tenga en cuenta que el teorema original afirma que hay un punto x en el que En general, esto también es cierto para toda función A para la cual ^[8] Sin embargo, en general esto no es cierto cierto para otras funciones A . ^[9] ${\displaystyle A(x)=-x.}$ ${\displaystyle A(A(x))=x.}$ ${\displaystyle f(A(x))=f(x).}$ ${\displaystyle A(A(x))=x.}$

Ver también

• Combinatoria topológica
• Problema de división del collar
• Teorema del sándwich de jamón
• Teorema de Kakutani (geometría)
• Imre Bárány

Notas

1. Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemencia; Wilson, Phillip L. (30 de julio de 2023). "Sobre la falacia del continuo: ¿es la temperatura una función continua?". Fundamentos de la Física . 53 (4): 69. doi : 10.1007/s10701-023-00713-x . ISSN  1572-9516.
2. Prescott, Timoteo (2002). Extensiones del teorema de Borsuk-Ulam (BS). Universidad Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 . 
3. Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (consulte el capítulo 12 para obtener una exposición completa). 
4. Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "Una prueba constructiva del lema combinatorio de Tucker". Revista de teoría combinatoria . Serie A. 30 (3): 321–325. doi : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .
5. Simmons, bosque W.; Su, Francis Edward (2003). "Reducción del consenso a la mitad mediante teoremas de Borsuk-Ulam y Tucker". Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15–25. doi :10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl : 10419/94656 .
6. Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "Un equivalente de Borsuk-Ulam que implica directamente el lema de Sperner", The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi :10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR  3035127
7. "Teorema del punto fijo de Borsuk", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
8. Yang, Chung-Tao (1954). "Sobre los teoremas de Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo y Dyson, I". Anales de Matemáticas . 60 (2): 262–282. doi :10.2307/1969632. JSTOR  1969632.
9. Jens Reinhold, Faisal; Serguéi Ivanov. "Generalización de Borsuk-Ulam". Desbordamiento matemático . Consultado el 18 de mayo de 2015 .

Referencias

• Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 20 : 177-190. doi : 10.4064/fm-20-1-177-190 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos topológicos en problemas variacionales". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U. Moscú.
• Matoušek, Jiří (2003). Usando el teorema de Borsuk-Ulam . Berlín: Springer Verlag. doi :10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). "El teorema de las antípodas de Borsuk y sus generalizaciones y aplicaciones: un estudio. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Matemáticas. Súper. Montreal, Sém. Ciencia. OTAN (Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) . 95 : 166–235.
• Su, Francis Edward (noviembre de 1997). "Borsuk-Ulam implica Brouwer: una construcción directa" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 104 (9): 855–859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . doi :10.2307/2975293. JSTOR  2975293. Archivado desde el original (PDF) el 13 de octubre de 2008 . Consultado el 21 de abril de 2006 .

enlaces externos

• ¿A quién (más) le importa la topología? Collares robados y Borsuk-Ulam en YouTube
• El explorador Borsuk-Ulam. Una ilustración interactiva del teorema de Borsuk-Ulam.