Sistema de Trachtenberg

Sistema de cálculo mental rápido

El sistema Trachtenberg es un sistema de cálculo mental rápido . El sistema consiste en una serie de operaciones de fácil memorización que permiten realizar cálculos aritméticos con gran rapidez. Fue desarrollado por el ingeniero ucraniano Jakow Trachtenberg para mantener su mente ocupada mientras se encontraba en un campo de concentración nazi .

El resto de este artículo presenta algunos métodos ideados por Trachtenberg. Algunos de los algoritmos que Trachtenberg desarrolló son para la multiplicación, división y suma en general. Además, el sistema de Trachtenberg incluye algunos métodos especializados para multiplicar números pequeños entre 5 y 13.

La sección sobre la suma demuestra un método eficaz para comprobar cálculos que también se puede aplicar a la multiplicación.

Multiplicación general

El método de multiplicación general es un método para lograr multiplicaciones con baja complejidad espacial, es decir, mantener en la memoria la menor cantidad posible de resultados temporales. Esto se logra teniendo en cuenta que el dígito final se determina completamente al multiplicar el último dígito de los multiplicandos . Este se mantiene como un resultado temporal. Para encontrar el penúltimo dígito, necesitamos todo lo que influye en este dígito: el resultado temporal, el último dígito de por el penúltimo dígito de , así como el penúltimo dígito de por el último dígito de . Se realiza este cálculo y tenemos un resultado temporal que es correcto en los dos dígitos finales. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

En general, para cada posición en el resultado final, sumamos para todos : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle a{\text{ (digit at }}i{\text{ )}}\times b{\text{ (digit at }}(n-i){\text{)}}.}$

Las personas pueden aprender este algoritmo y así multiplicar mentalmente números de cuatro dígitos, anotando únicamente el resultado final. Lo escribirían comenzando con el dígito más a la derecha y terminando con el más a la izquierda.

Trachtenberg definió este algoritmo con un tipo de multiplicación por pares en la que dos dígitos se multiplican por uno, conservando básicamente solo el dígito del medio del resultado. Al realizar el algoritmo anterior con esta multiplicación por pares, es necesario conservar incluso menos resultados temporales.

Ejemplo: ${\displaystyle 123456\times 789}$

Para encontrar el primer dígito (más a la derecha) de la respuesta, comience en el primer dígito del multiplicando.

El dígito de las unidades es ${\displaystyle 9\times 6}$ ${\displaystyle 4.}$

El primer dígito de la respuesta es . Se ignora el dígito de las decenas . ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 5}$

Punteros para el primer dígito

Para encontrar el segundo dígito de la respuesta, comience en el segundo dígito del multiplicando:

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 9\times 5}$ ${\displaystyle 9\times 6}$

El dígito de las unidades de . ${\displaystyle 8\times 6}$

${\displaystyle 5+5+8=18}$.

El segundo dígito de la respuesta es y lleva al tercer dígito. ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 1}$

Punteros para el segundo dígito

Para encontrar el tercer dígito de la respuesta, comience en el tercer dígito del multiplicando:

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 9\times 4}$ ${\displaystyle 9\times 5}$

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 8\times 5}$ ${\displaystyle 8\times 6}$

El dígito de las unidades de ${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+6+4+0+4+2=17}$

El tercer dígito de la respuesta es y lleva al siguiente dígito. ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 1}$

Punteros para el tercer dígito

Para encontrar el cuarto dígito de la respuesta, comience en el cuarto dígito del multiplicando:

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 9\times 3}$ ${\displaystyle 9\times 4}$

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 8\times 4}$ ${\displaystyle 8\times 5}$

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de . ${\displaystyle 7\times 5}$ ${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+7+3+2+4+5+4=26}$llevado desde el tercer dígito.

El cuarto dígito de la respuesta es y lleva al siguiente dígito. ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$

Continúe con el mismo método para obtener los dígitos restantes.

Método de los 2 dedos

Trachtenberg lo llamó el método de los dos dedos. Los cálculos para encontrar el cuarto dígito del ejemplo anterior se ilustran a la derecha. La flecha del nueve siempre apuntará al dígito del multiplicando directamente sobre el dígito de la respuesta que desea encontrar, y las otras flechas apuntarán cada una un dígito hacia la derecha. Cada punta de flecha apunta a un par UT o par de productos. La flecha vertical apunta al producto donde obtendremos el dígito de las unidades y la flecha inclinada apunta al producto donde obtendremos los dígitos de las decenas del par de productos. Si una flecha apunta a un espacio sin dígito, no hay cálculo para esa flecha. A medida que resuelva cada dígito, moverá cada una de las flechas sobre el multiplicando un dígito hacia la izquierda hasta que todas las flechas apunten a ceros prefijados.

Preparándose para la división

La división en el sistema Trachtenberg se hace de forma muy similar a la multiplicación, pero con resta en lugar de suma. Dividir el dividendo en dividendos parciales más pequeños y luego dividir este dividendo parcial solo por el dígito más a la izquierda del divisor proporcionará la respuesta dígito por dígito. A medida que resuelve cada dígito de la respuesta, resta pares de productos (pares UT) y también pares NT (números-decenas) del dividendo parcial para encontrar el siguiente dividendo parcial. Los pares de productos se encuentran entre los dígitos de la respuesta hasta el momento y el divisor. Si una resta da como resultado un número negativo, debe retroceder un dígito y reducir ese dígito de la respuesta en uno. Con suficiente práctica, este método se puede realizar en su cabeza.

Adición general

Método para sumar columnas de números y comprobar con precisión el resultado sin repetir la primera operación. Se produce una suma intermedia, en forma de dos filas de dígitos. La respuesta se obtiene sumando los resultados intermedios con un algoritmo en forma de L. Como paso final, el método de comprobación que se propone elimina el riesgo de repetir cualquier error original e identifica la columna precisa en la que se produce un error de una sola vez. Se basa en sumas de comprobación (o de dígitos), como el método de nueves y resto.

Para que el procedimiento sea eficaz, las diferentes operaciones utilizadas en cada etapa deben mantenerse distintas, de lo contrario existe el riesgo de interferencias.

Otros algoritmos de multiplicación

Al realizar cualquiera de estos algoritmos de multiplicación se deben aplicar los siguientes "pasos".

La respuesta debe hallarse dígito por dígito, comenzando por el dígito menos significativo y avanzando hacia la izquierda. El último cálculo se realiza sobre el cero inicial del multiplicando.

Cada dígito tiene un vecino , es decir, el dígito que está a su derecha. El vecino del dígito más a la derecha es el cero final.

La operación de dividir por la mitad tiene un significado particular en el sistema de Trachtenberg. Su objetivo es significar "la mitad del dígito, redondeado hacia abajo", pero por razones de velocidad, se recomienda a quienes siguen el sistema de Trachtenberg que hagan que este proceso de dividir por la mitad sea instantáneo. Por lo tanto, en lugar de pensar "la mitad de siete es tres y medio, por lo tanto tres", se sugiere pensar "siete, tres". Esto acelera considerablemente el cálculo. De la misma manera, se deben memorizar las tablas para restar dígitos de 10 o 9.

Y siempre que la regla requiera sumar la mitad del vecino, siempre se suma 5 si el dígito actual es impar. Esto compensa la eliminación de 0,5 en el cálculo del dígito siguiente.

Números y dígitos (base 10)

Los dígitos y los números son dos nociones diferentes. El número T consta de n dígitos c _n ... c ₁ .

${\displaystyle T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}}$

Multiplicando por 2

Prueba

${\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla :

1. Multiplica cada dígito por 2 (con transporte).

Ejemplo: 8624 × 2

Trabajando de izquierda a derecha:

8+8=16,

6+6=12 (lleva el 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Ejemplo: 76892 × 2

Trabajando de izquierda a derecha:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 = 153784

Multiplicando por 3

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
2. Resta los dígitos restantes de 9.
3. Duplica el resultado.
4. Añade la mitad del vecino de la derecha, más 5 si el dígito es impar.
5. Para el cero inicial, reste 2 de la mitad del vecino.

Ejemplo: 492 × 3 = 1476

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 2) × 2 + La mitad de 0 (0) = 16. Escribe 6, lleva 1.

(9 − 9) × 2 + La mitad de 2 (1) + 5 (ya que 9 es impar) + 1 (llevado) = 7. Escribe 7.

(9 − 4) × 2 + La mitad de 9 (4) = 14. Escribe 4, lleva 1.

La mitad de 4 (2) − 2 + 1 (llevado) = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 4

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
2. Resta los dígitos restantes de 9.
3. Suma la mitad del vecino, más 5 si el dígito es impar.
4. Para el 0 inicial, reste 1 de la mitad del vecino.

Ejemplo: 346 × 4 = 1384

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 6) + La mitad de 0 (0) = 4. Escribe 4.

(9 − 4) + La mitad de 6 (3) = 8. Escribe 8.

(9 − 3) + la mitad de 4 (2) + 5 (ya que 3 es impar) = 13. Escribe 3, lleva 1.

La mitad de 3 (1) − 1 + 1 (llevado) = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 5

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla :

1. Tome la mitad del vecino, luego, si el dígito actual es impar, agregue 5.

Ejemplo: 42×5=210

La mitad del vecino de 2, el cero final, es 0.

La mitad del vecino de 4 es 1.

La mitad del vecino del cero inicial es 2.

43×5 = 215

La mitad del vecino de 3 es 0, más 5 porque 3 es impar, es 5.

La mitad del vecino de 4 es 1.

La mitad del vecino del cero inicial es 2.

93×5=465

La mitad del vecino de 3 es 0, más 5 porque 3 es impar, es 5.

La mitad del vecino de 9 es 1, más 5 porque 9 es impar, es 6.

La mitad del vecino del cero inicial es 4.

Multiplicando por 6

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. A cada dígito se le suma la mitad del vecino. Si el dígito actual es impar, se le suma 5.

Ejemplo: 357 × 6 = 2142

Trabajando de derecha a izquierda:

7 no tiene vecino, suma 5 (ya que 7 es impar) = 12. Escribe 2, lleva el 1.

5 + la mitad de 7 (3) + 5 (ya que el dígito inicial 5 es impar) + 1 (llevado) = 14. Escribe 4, lleva el 1.

3 + la mitad de 5 (2) + 5 (ya que 3 es impar) + 1 (llevado) = 11. Escribe 1, lleva 1.

0 + la mitad de 3 (1) + 1 (llevado) = 2. Escribe 2.

Multiplicando por 7

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Duplica cada dígito.
2. Añade la mitad de su vecino a la derecha (eliminando los decimales, si los hay). El vecino de la posición de las unidades es 0.
3. Si el dígito base es par, sume 0, de lo contrario sume 5.
4. Agregue cualquier resto del paso anterior.

Ejemplo: 693 × 7 = 4,851

Trabajando de derecha a izquierda:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = arrastre 1, resultado 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = arrastre 2, resultado 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = arrastre 1, resultado 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = resultado 4.

Multiplicando por 8

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Restar el dígito más a la derecha de 10.
   1. Resta los dígitos restantes de 9.
2. Duplica el resultado.
3. Añade al vecino.
4. Para el cero inicial, reste 2 del vecino.

Ejemplo: 456 × 8 = 3648

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 6) × 2 + 0 = 8. Escribe 8.

(9 − 5) × 2 + 6 = 14, Escribe 4, lleva 1.

(9 − 4) × 2 + 5 + 1 (llevado) = 16. Escribe 6, lleva 1.

4 − 2 + 1 (llevado) = 3. Escribe 3.

Multiplicando por 9

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10-1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
   1. Resta los dígitos restantes de 9.
2. Añade el vecino a la suma
3. Para el cero inicial, reste 1 del vecino.

Para las reglas 9, 8, 4 y 3, solo se resta el primer dígito de 10. Después, se resta cada dígito de nueve.

Ejemplo: 2130 × 9 = 19170

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 0) + 0 = 10. Escribe 0, lleva 1.

(9 − 3) + 0 + 1 (llevado) = 7. Escribe 7.

(9 − 1) + 3 = 11. Escribe 1, lleva 1.

(9 − 2) + 1 + 1 (llevado) = 9. Escribe 9.

2 − 1 = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 10

Agregue 0 (cero) como dígito más a la derecha.

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Multiplicando por 11

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Suma el dígito a su vecino. (Por "vecino" nos referimos al dígito de la derecha).

Ejemplo: ${\displaystyle 3,425\times 11=37,675}$

(0+3) (3+4) (4+2) (2+5) (5+0)

3 7 6 7 5

Para ilustrarlo:

11=10+1

De este modo,

${\displaystyle 3425\times 11=3425\times (10+1)}$

${\displaystyle \rightarrow 37675=34250+3425}$

Multiplicando por 12

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla: para multiplicar por 12 :
comenzando por el dígito más a la derecha, duplica cada dígito y suma el dígito vecino. (El "vecino" es el dígito de la derecha).

Si la respuesta es mayor que un dígito, simplemente se pasa el dígito adicional (que será un 1 o un 2) a la siguiente operación. El dígito restante es un dígito del resultado final.

Ejemplo: ${\displaystyle 316\times 12}$

Determinar vecinos en el multiplicando 0316:

• El dígito 6 no tiene vecino derecho
• El dígito 1 tiene vecino 6
• El dígito 3 tiene vecino 1
• El dígito 0 (el cero prefijado) tiene vecino 3

${\displaystyle {\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}}$

Multiplicando por 13

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Publicaciones

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Sistema de cálculo mental rápido como herramienta para el desarrollo del pensamiento algorítmico en estudiantes de primaria . European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012 [1].
• El sistema de velocidad de Trachtenberg para matemáticas básicas , de Jakow Trachtenberg, A. Cutler (traductor) y R. McShane (traductor), fue publicado por Doubleday and Company, Inc., Garden City, Nueva York, en 1960. ^[1]

El libro contiene explicaciones algebraicas específicas para cada una de las operaciones anteriores.

La mayor parte de la información de este artículo proviene del libro original.

Los algoritmos/operaciones de multiplicación, etc., se pueden expresar de otras formas más compactas que el libro no especifica, a pesar del capítulo sobre descripción algebraica. ^[a]

En la cultura popular

• La película estadounidense Gifted de 2017 gira en torno a un niño prodigio que a la edad de 7 años impresiona a su maestra haciendo cálculos en su cabeza utilizando el sistema Trachtenberg. ^[2]

Otros sistemas

Existen muchos otros métodos de cálculo en la matemática mental. La lista que aparece a continuación muestra algunos otros métodos de cálculo, aunque es posible que no sean completamente mentales.

• El libro de Bharati Krishna Tirtha "Matemáticas Védicas "
• Ábaco mental : a medida que los estudiantes se acostumbran a manipular el ábaco con los dedos, se les suele pedir que realicen cálculos visualizándolos mentalmente. Casi todos los usuarios competentes del ábaco son expertos en realizar cálculos aritméticos mentalmente. ^{[ cita requerida ]}
• Chisanbop

Notas

1. Toda esta información proviene de un libro original publicado e impreso en 1960. El libro original tiene siete capítulos completos y 270 páginas. Los títulos de los capítulos son los siguientes. No se enumeran las numerosas subcategorías de cada capítulo. El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas
   
   • Capítulo 1 ¿Tablas o no tablas?
   • Capítulo 2 Multiplicación rápida por el método directo
   • Capítulo 3 Multiplicación rápida: método de "dos dedos"
   • Capítulo 4 La suma y la respuesta correcta
   • Capítulo 5 División – Velocidad y precisión
   • Capítulo 6 Cuadrados y raíces cuadradas
   • Capítulo 7 Descripción algebraica del método
   Citas:
   • "Un nuevo método revolucionario para multiplicar, dividir, sumar, restar y realizar operaciones de raíz cuadrada a alta velocidad". (1960)
   • "El método más vendido para multiplicar, dividir, sumar, restar y realizar operaciones de raíz cuadrada a alta velocidad, sin calculadora". (Reimpreso en 2009)
   • La multiplicación se realiza sin tablas de multiplicar.
   • "¿Puedes multiplicar 5132437201 por 4522736502785 en setenta segundos?" "Un niño (de escuela primaria, sin calculadora) lo logró, con éxito, utilizando el Sistema de Velocidad Trachtenberg de Matemáticas Básicas".
   • Jakow Trachtenberg (su fundador) escapó de la Alemania de Hitler de una institución activa hacia el final de la Segunda Guerra Mundial. El profesor Trachtenberg huyó a Alemania cuando el régimen zarista fue derrocado en su patria, Rusia, y vivió allí pacíficamente hasta mediados de los treinta, cuando sus actitudes antihitlerianas lo obligaron a huir nuevamente. Era un fugitivo y cuando fue capturado pasó un total de siete años en varios campos de concentración. Fue durante estos años que el profesor Trachtenberg ideó el sistema de matemáticas rápidas. La mayor parte de su trabajo lo realizó sin lápiz ni papel. Por lo tanto, la mayoría de las técnicas se pueden realizar mentalmente.

Referencias

1. Trachtenberg, Jakow (1960). Cutler, Ann (ed.). El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas. Traducido por A. Cutler, R. McShane. Doubleday and Company, Inc. pág. 270.Edición de 1962: ISBN 9780285629165 . 
2. @GiftedtheMovie (9 de marzo de 2017). "Mis pasatiempos incluyen jugar con legos y aprender el sistema Trachtenberg 👷‍♀️📚✏️ @McKennaGraceful es Mary // #GiftedMovie" ( Tweet ) – vía Twitter .

Lectura adicional

• Trachtenberg, J. (1960). El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas . Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, EE. UU.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу , 1967 (en ruso) .
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. "Sistema de cálculo mental rápido como herramienta para el desarrollo del pensamiento algorítmico en estudiantes de primaria", European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012.

Enlaces externos

• Chandrashekhar, Kiran. "[Aprenda todo sobre] Atajos matemáticos", SapnaEdu.in en Wayback Machine (archivado el 30 de mayo de 2018)
• Gifted (película de 2017) , esta película trata más sobre el sistema Trachtenberg , con Mckenna Grace , una joven artista que ha aprendido esta técnica, desempeñando el papel principal.
• Academia de Matemáticas Védicas