Subaditividad

Propiedad de algunas funciones matemáticas.

En matemáticas , la subaditividad es una propiedad de una función que establece, aproximadamente, que evaluar la función para la suma de dos elementos del dominio siempre arroja algo menor o igual a la suma de los valores de la función en cada elemento. Existen numerosos ejemplos de funciones subaditivas en diversas áreas de las matemáticas, particularmente normas y raíces cuadradas . Los mapas aditivos son casos especiales de funciones subaditivas.

Definiciones

Una función subaditiva es una función que tiene un dominio A y un codominio ordenado B , ambos cerrados bajo suma, con la siguiente propiedad: ${\displaystyle f\colon A\to B}$

$${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).}$$

Un ejemplo es la función de raíz cuadrada , teniendo como dominio y codominio los números reales no negativos : ya que tenemos: ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$

$${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$$

Una sucesión se llama subaditiva si satisface la desigualdad. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}}$

$${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$$

mn

Tenga en cuenta que si bien una secuencia cóncava es subaditiva, lo contrario es falso. Por ejemplo, asigne aleatoriamente valores en ; entonces la secuencia es subaditiva pero no cóncava. ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ ${\displaystyle 0.5,1}$

Propiedades

Secuencias

Un resultado útil relacionado con secuencias subaditivas es el siguiente lema debido a Michael Fekete . ^[1]

Lema subaditivo de Fekete  :  para cada secuencia subaditiva , el límite existe y es igual al mínimo . (El límite puede ser .) ${\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle \inf {\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle -\infty }$

Prueba

Dejar . ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$

Por definición, . Así que basta con mostrarlo . ${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}}$ ${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}}$

Si no, entonces existe una subsecuencia y una tal que para todos . ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon }$ ${\displaystyle k}$

Desde entonces , existe tal que . ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle {\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon /2}$

Por principio de casillero infinito , existe una subsubsecuencia , cuyos índices pertenecen todos al mismo módulo de clase de residuo , por lo que avanzan en múltiplos de . Esta secuencia, si continúa durante un tiempo suficiente, se vería obligada por la subaditividad a descender por debajo de la línea de pendiente, lo que constituye una contradicción. ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s^{*}+\epsilon }$

Más detalladamente, por subaditividad, tenemos

${\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \end{aligned}}}$

lo que implica ${\displaystyle \limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon }$

El análogo del lema de Fekete también es válido para secuencias superaditivas, es decir: (El límite entonces puede ser infinito positivo: considere la secuencia ). ${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.}$ ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

Hay extensiones del lema de Fekete que no requieren que la desigualdad se cumpla para todos m y n , sino solo para m y n tales que ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$

Prueba

Continúe la prueba como antes, hasta que hayamos utilizado el principio del casillero infinito.

Considere la secuencia . Desde que tenemos . De manera similar, tenemos , etc. ${\displaystyle a_{m},a_{2m},a_{3m},...}$ ${\displaystyle 2m/m=2}$ ${\displaystyle a_{2m}\leq 2a_{m}}$ ${\displaystyle a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}}$

Suponiendo que, para cualquiera , podemos usar la subaditividad en ellos si ${\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]}$$

Si estuviéramos tratando con variables continuas, entonces podemos usar la subaditividad para ir de a , luego a , y así sucesivamente, lo que cubre todo el intervalo . ${\displaystyle a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )}$

Aunque no tenemos variables continuas, aún podemos cubrir suficientes números enteros para completar la prueba. Sea lo suficientemente grande, tal que ${\displaystyle n_{k}}$

$${\displaystyle \ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)}$$

entonces sea el número más pequeño en la intersección . Según la suposición de , es fácil ver (haga un dibujo) que los intervalos y se tocan en el medio. Así, repitiendo este proceso, cubrimos la totalidad de . ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]}$ ${\displaystyle \ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]}$ ${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])}$

Con eso, todos son obligados a bajar como en la prueba anterior. ${\displaystyle a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...}$

Además, la condición puede debilitarse de la siguiente manera: siempre que sea una función creciente tal que la integral converja (cerca del infinito). ^[2] ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$ ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$

También hay resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si está presente algún tipo de superaditividad y subaditividad. ^{[3] [4]}

Además, se han demostrado análogos del lema de Fekete para aplicaciones reales subaditivas (con suposiciones adicionales) de subconjuntos finitos de un grupo susceptible ^{[5] [6]} , ^[7] y, además, de un semigrupo cancelador susceptible de izquierda. ^[8]

Funciones

Teorema: ^[9]  -  Para cadafunción subaditiva medible, el límiteexiste y es igual a(El límite puede ser) ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}}$ ${\displaystyle \inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Si f es una función subaditiva y si 0 está en su dominio, entonces f (0) ≥ 0. Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior. . Por eso ${\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)}$ ${\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}$

Una función cóncava con también es subaditiva. Para ver esto, primero se observa que . Luego, al observar la suma de este límite para y , finalmente se verificará que f es subaditivo. ^[10] ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)}$

El negativo de una función subaditiva es superaditiva .

Ejemplos en varios dominios

entropía

La entropía juega un papel fundamental en la teoría de la información y la física estadística , así como en la mecánica cuántica en una formulación generalizada debida a von Neumann . La entropía aparece siempre como una cantidad subaditiva en todas sus formulaciones, es decir, la entropía de un supersistema o una unión de variables aleatorias es siempre menor o igual que la suma de las entropías de sus componentes individuales. Además, la entropía en física satisface varias desigualdades más estrictas, como la subaditividad fuerte de la entropía en la mecánica estadística clásica y su análogo cuántico .

Ciencias económicas

La subaditividad es una propiedad esencial de algunas funciones de costos particulares . Es, generalmente, una condición necesaria y suficiente para la constatación de un monopolio natural . Implica que la producción de una sola empresa es socialmente menos costosa (en términos de costos promedio) que la producción de una fracción de la cantidad original por un número igual de empresas.

Las economías de escala están representadas por funciones de costo promedio subaditivas .

Excepto en el caso de bienes complementarios, el precio de los bienes (en función de la cantidad) debe ser subaditivo. De lo contrario, si la suma del costo de dos artículos es más barata que el costo del paquete de dos de ellos juntos, entonces nadie compraría jamás el paquete, lo que efectivamente causaría que el precio del paquete se "convirtiera" en la suma de los precios de los dos elementos separados. Demostrando así que no es condición suficiente para un monopolio natural; ya que la unidad de cambio puede no ser el costo real de un artículo. Esta situación es familiar para todos en el ámbito político, donde alguna minoría afirma que la pérdida de alguna libertad particular en algún nivel particular de gobierno significa que muchos gobiernos son mejores; mientras que la mayoría afirma que existe alguna otra unidad de coste correcta. ^{[ cita necesaria ]}

Finanzas

La subaditividad es una de las propiedades deseables de medidas de riesgo coherentes en la gestión de riesgos . ^[11] La intuición económica detrás de la subaditividad de la medida de riesgo es que la exposición al riesgo de una cartera debería, en el peor de los casos, simplemente igualar la suma de las exposiciones al riesgo de las posiciones individuales que componen la cartera. En cualquier otro caso, los efectos de la diversificación darían como resultado una exposición de la cartera inferior a la suma de las exposiciones al riesgo individuales. La falta de subaditividad es una de las principales críticas a los modelos VaR que no se basan en el supuesto de normalidad de los factores de riesgo. El VaR gaussiano garantiza la subaditividad: por ejemplo, el VaR gaussiano de una cartera de dos posiciones largas unitarias en el nivel de confianza es, suponiendo que la variación media del valor de la cartera es cero y el VaR se define como una pérdida negativa, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1-p}$

$${\displaystyle {\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}}$$

función de distribución acumulativamedida de correlación linealla varianza ${\displaystyle z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{xy}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}}$$

${\displaystyle \rho _{xy}\in [-1,1]}$ ${\displaystyle \rho _{xy}=1}$

Termodinámica

La subaditividad ocurre en las propiedades termodinámicas de soluciones y mezclas no ideales, como el exceso de volumen molar y el calor de mezcla o el exceso de entalpía.

Combinatoria de palabras

Un lenguaje factorial es aquel en el que si una palabra está en , todos los factores de esa palabra también están en . En combinatoria de palabras, un problema común es determinar el número de palabras de longitud en un lenguaje factorial. Claramente , so es subaditivo y, por lo tanto, se puede utilizar el lema de Fekete para estimar el crecimiento de . ^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(m+n)\leq A(m)A(n)}$ ${\displaystyle \log A(n)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Para cada uno , muestre dos cadenas de longitud uniforme y aleatoria en el alfabeto . La longitud esperada de la subsecuencia común más larga es una función superaditiva de , y por lo tanto existe un número tal que la longitud esperada crece a medida que . Al verificar el caso con , fácilmente tenemos . Sin embargo, solo se sabe que el valor exacto de par está entre 0,788 y 0,827. ^[13] ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1,2,...,k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sim \gamma _{k}n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Ver también

• Propiedad molar aparente  : diferencia en las propiedades de un mol de sustancia en una mezcla frente a una solución ideal
• choquet integral
• superaditividad
• Desigualdad de triángulos  : propiedad de la geometría, también utilizada para generalizar la noción de "distancia" en espacios métricos.

Notas

1. Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi :10.1007/BF01504345. S2CID  186223729.
2. de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Algunas fórmulas de recursividad lineal y otras cuadráticas. II". Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. A . 55 : 152-163. doi :10.1016/S1385-7258(52)50021-0.(Lo mismo que Indagationes Math. 14. ) Véase también Steele 1997, Teorema 1.9.2.
3. Michael J. Steele. "Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria". SIAM, Filadelfia (1997). ISBN 0-89871-380-3 . 
4. Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de la probabilidad y optimización combinatoria. Universidad de Cambridge.
5. Lindenstrauss, Elon ; Weiss, Benjamín (2000). "Dimensión topológica media". Revista Israelí de Matemáticas . 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172. Teorema 6.1
6. Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamín (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles". Revista de Análisis Matemático . 48 (1): 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN  0021-7670.
7. Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicas de sistemas dinámicos y espacios de mapas holomorfos: I". Física Matemática, Análisis y Geometría . 2 (4): 323–415. doi :10.1023/A:1009841100168. ISSN  1385-0172. S2CID  117100302.
8. Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "Un análogo del lema de Fekete para funciones subaditivas en semigrupos cancelables susceptibles". Revista de Análisis Matemático . 124 : 59–81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 .Teorema 1.1
9. Hille 1948, Teorema 6.6.1. (La mensurabilidad está estipulada en la Sección 6.2 "Preliminares".)
10. Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4., p.314,12.25
11. Rau-Bredow, H. (2019). "Más grande no siempre es más seguro: un análisis crítico del supuesto de subaditividad para medidas de riesgo coherentes". Riesgos . 7 (3): 91. doi : 10.3390/riesgos7030091 . hdl : 10419/257929 .
12. Shur, Arseny (2012). "Propiedades de crecimiento de los lenguajes libres de poder". Revisión de informática . 6 (5–6): 187–208. doi :10.1016/j.cosrev.2012.09.001.
13. Lueker, George S. (mayo de 2009). "Límites mejorados en la longitud promedio de las subsecuencias comunes más largas". Revista de la ACM . 56 (3): 1–38. doi :10.1145/1516512.1516519. ISSN  0004-5411. S2CID  7232681.

Referencias

• György Pólya y Gábor Szegő . "Problemas y teoremas en análisis, volumen 1". Springer-Verlag, Nueva York (1976). ISBN 0-387-05672-6 . 
• Einar Hillé . "Análisis funcional y semigrupos". Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Nueva York (1948).
• NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Funciones subaditivas genéricas". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 136, núm. 12 (2008), págs. 4257–4266.

enlaces externos

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