En música, el temperamento igual 53 , llamado 53 TET , 53 EDO o 53 ET , es la escala temperada que se obtiene dividiendo la octava en 53 pasos iguales (razones de frecuencia iguales). Cada paso representa una razón de frecuencia de 2 1 ⁄ 53 , o 22,6415 centésimas ( ), un intervalo a veces llamado coma holdriana .
53-TET es una afinación de temperamento igual en la que la quinta perfecta temperada tiene un ancho de 701,89 centésimas, como se muestra en la Figura 1.
La afinación 53-TET equivale al unísono, o templa , los intervalos 32805 ⁄ 32768 , conocido como cisma , y 15625 ⁄ 15552 , conocido como kleisma . Ambos son intervalos límite de 5, que involucran solo los primos 2, 3 y 5 en su factorización, y el hecho de que 53 ET templa ambos lo caracteriza completamente como un temperamento límite de 5: es el único temperamento regular que templa ambos intervalos, o comas , un hecho que parece haber sido reconocido por primera vez por el teórico musical japonés Shohé Tanaka . Debido a que los templa, 53-TET se puede utilizar tanto para el temperamento cismático , templando el cisma, como para el temperamento Hanson (también llamado kleísmico), templando el kleisma.
El intervalo de 7 ⁄ 4 es 4,8 centésimas sostenido en 53-TET, y usarlo para la armonía de límite de 7 significa que el kleisma septimal , el intervalo 225 ⁄ 224 , también está templado.
El interés teórico en esta división se remonta a la antigüedad. Jing Fang (78–37 a. C.), un teórico musical chino, observó que una serie de 53 quintas ([ 3 ⁄ 2 ] 53 ) es casi igual a 31 octavas (2 31 ). Calculó que esta diferencia con una precisión de seis dígitos era 177147 ⁄ 176776 . [2] [3] Posteriormente, el matemático y teórico musical Nicholas Mercator (c. 1620-1687) realizó la misma observación y calculó este valor con precisión como (3 53 ) ⁄ (2 84 ) = 19383245667680019896796723 ⁄ 19342813113834066795298816 , [ verificación necesaria ] que se conoce como la coma de Mercator . [4] La coma de Mercator tiene un valor muy pequeño para empezar (≈ 3,615 cents), pero el temperamento igual de 53 tonos aplana cada quinta en solo 1 ⁄ 53 de esa coma (≈ 0,0682 cents ≈ 1 ⁄ 315 coma sintónica ≈ 1 ⁄ 344 coma pitagórica ). Por lo tanto, el temperamento igual de 53 tonos es para todos los efectos prácticos equivalente a una afinación pitagórica extendida .
Después de Mercator, William Holder publicó un tratado en 1694 que señalaba que el temperamento igual 53 también se aproxima mucho a la tercera mayor justa (hasta 1,4 centésimas) y, en consecuencia, el temperamento igual 53 se adapta muy bien a los intervalos de entonación justa límite 5. [5] [6] Esta propiedad del 53-TET puede haber sido conocida antes; los manuscritos inéditos de Isaac Newton sugieren que él había estado al tanto de ella ya en 1664-1665. [7]
En el siglo XIX, la gente comenzó a idear instrumentos en 53 TET, con la vista puesta en su uso para tocar música con un límite cercano a 5. Dichos instrumentos fueron ideados por RHM Bosanquet [8] (p 328-329) y el afinador estadounidense JP White. [8] (p 329) Posteriormente, el temperamento ha sido utilizado ocasionalmente por compositores en Occidente, y a principios del siglo XX, 53 TET se había convertido en la forma más común de afinación en la música clásica otomana , reemplazando su afinación más antigua y desigual. La música árabe , que en su mayor parte basa su teoría en cuartos de tono , también ha hecho algún uso de ella; el violinista y teórico musical sirio Twfiq Al-Sabagh propuso que, en lugar de una división igual de la octava en 24 partes, se debería utilizar una escala de 24 notas en 53 TET como escala maestra para la música árabe. [ cita requerida ]
El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza, que nunca fue publicada, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulada Música para el sistema Natur-ton . [9] [10] [11] Además, el general Thompson trabajó en alianza con el fabricante de guitarras con sede en Londres Louis Panormo para producir la Guitarra Enarmónica. [12]
Intentar utilizar la notación estándar, notas de siete letras más sostenidos o bemoles, puede volverse rápidamente confuso. Esto es diferente de lo que ocurre con 19 TET y 31 TET, donde hay poca ambigüedad. Al no ser un tono medio, agrega algunos problemas que requieren más atención. En particular, se distinguen la tercera mayor pitagórica ( dítono ) y solo la tercera mayor, al igual que la tercera menor pitagórica (semidítono) y solo la tercera menor. El hecho de que la coma sintónica no esté templada significa que las notas y los intervalos deben definirse con mayor precisión. La música clásica otomana utiliza una notación de bemoles y sostenidos para el tono de coma 9.
Además, dado que 53 no es múltiplo de 12, notas como sol ♯ y la ♭ no son enarmónicamente equivalentes, ni tampoco lo son las armaduras de clave correspondientes . Como resultado, muchas armaduras de clave requerirán el uso de dobles sostenidos (como sol ♯ mayor / mi ♯ menor), dobles bemoles (como fa ♭ mayor / re ♭ menor) o alteraciones microtonales.
La notación pitagórica extendida , utilizando sólo sostenidos y bemoles, da la siguiente escala cromática:
, mi
, Re ♭ , Do ♯ , Si, yo, mi
,, B ♯, yo, mi ♭ , re ♯ , do ♯, Sol, fa ♭ ,, C/A, Sol,, A, sol ♭ , fa ♯ , mi, D/B, A,, mi ♯, B, La ♭ , Sol ♯ , Fa ♯, C, B,, yo/D, C, si ♭ , la ♯ , sol ♯, D, C ♭ ,, Sol/MI, D, CLamentablemente, las notas no siguen el orden establecido y se requieren hasta cuatro sostenidos y bemoles. Como resultado, una tercera mayor debe escribirse como una cuarta disminuida.
La notación de arriba y abajo [13] mantiene las notas en orden y también conserva el significado tradicional de sostenido y bemol. Utiliza flechas hacia arriba y hacia abajo, escritas como un signo de intercalación o una "v" minúscula, generalmente en una fuente sans-serif. Una flecha equivale a un paso de 53-TET. En los nombres de las notas, las flechas van primero, para facilitar la denominación de los acordes. Las numerosas equivalencias enarmónicas permiten una gran libertad de ortografía.
Dado que el 53-TET es un sistema pitagórico, con quintas casi puras, las tríadas mayores y menores entonadas correctamente no se pueden escribir de la misma manera que en una afinación de tono medio . En cambio, las tríadas mayores son acordes como CF ♭ -G (usando la notación basada en Pitágoras), donde la tercera mayor es una cuarta disminuida; esta es la característica definitoria del temperamento cismático . Del mismo modo, las tríadas menores son acordes como CD ♯ -G. En el 53-TET, el acorde de séptima dominante se escribiría CF ♭ -GB ♭ , pero la tétrada otonal es CF ♭ -GC, y CF ♭ -GA ♯ es otro acorde de séptima. La tétrada utona , la inversión de la tétrada otonal, se escribe CD ♯ -GG.
Otros acordes séptimales son la tríada disminuida, que tiene las dos formas CD ♯ -G ♭ y CF-G ♭ , la tríada submenor, CF-G, la tríada supermayor CD-G, y las tétradas correspondientes CF-ESy CD-GA ♯ . Dado que 53-TET atenúa el cleisma septimal , la tríada aumentada del cleisma septimal CF ♭ -BEn sus diversas inversiones también es un acorde del sistema. Así es la tétrada de Orwell, CF ♭ -D-GRAMOen sus diversas inversiones.
La notación de arriba y abajo permite grafías más convencionales. Dado que también nombra los intervalos de 53-TET, [14] también proporciona nombres precisos de acordes. El acorde pitagórico menor con una tercera 32/27 todavía se llama Cm y todavía se escribe C–E ♭ –G. Pero el acorde menor ascendente con límite de 5 usa la tercera menor ascendente 6/5 y se escribe C–^E ♭ –G. Este acorde se llama C^m. Compárese con ^Cm (^C–^E ♭ –^G).
Debido a que una distancia de 31 pasos en esta escala es casi exactamente igual a una quinta perfecta , en teoría esta escala puede considerarse una forma ligeramente temperada de la afinación pitagórica que se ha extendido a 53 tonos. Como tal, los intervalos disponibles pueden tener las mismas propiedades que cualquier afinación pitagórica, como quintas que son (prácticamente) puras, terceras mayores que son anchas desde apenas (aproximadamente 81 ⁄ 64 en oposición a las más puras 5 ⁄ 4 , y terceras menores que son, por el contrario, estrechas ( 32 ⁄ 27 en comparación con 6 ⁄ 5 ).
Sin embargo, 53-TET contiene intervalos adicionales que son muy cercanos a la entonación justa. Por ejemplo, el intervalo de 17 pasos también es una tercera mayor, pero solo 1,4 centésimas más estrecho que el intervalo justo muy puro 5 ⁄ 4 . 53-TET es muy bueno como aproximación a cualquier intervalo en entonación justa límite de 5. De manera similar, el intervalo justo puro 6 ⁄ 5 es solo 1,3 centésimas más ancho que 14 pasos en 53-TET.
Las coincidencias con los intervalos justos que involucran al 7.º armónico son ligeramente menos cercanas (43 pasos son 4,8 centésimas sostenidas para 7 ⁄ 4 ), pero todos esos intervalos siguen estando bastante coincidentes, siendo la desviación más alta el tritono 7 ⁄ 5 . El 11.º armónico y los intervalos que lo involucran están menos coincidentes, como lo ilustran los segundos y tercios neutros indeciso en la tabla siguiente. Las relaciones de límite 7 están coloreadas en gris claro, y las relaciones de límite 11 y 13 están coloreadas en gris oscuro.
A continuación se muestran 21 de las 53 notas de la escala cromática. El resto se puede añadir fácilmente.
En teoría musical y afinación musical , la coma holdriana , también llamada coma de Holder , y raramente coma árabe , [15] es un pequeño intervalo musical de aproximadamente 22,6415 cents , [15] igual a un paso de temperamento igual 53, o ( ). El nombre coma es engañoso, ya que este intervalo es un número irracional y no describe el compromiso entre intervalos de ningún sistema de afinación; asume este nombre porque es una aproximación de la coma sintónica (21,51 cents) ( ), que se usaba ampliamente como medida de afinación en la época de William Holder .
El origen de la coma de Holder reside en el hecho de que los antiguos griegos (o al menos Boecio [16] ) creían que en la afinación pitagórica el tono podía dividirse en nueve comas, cuatro de las cuales formaban el semitono diatónico y cinco el semitono cromático. Si todas estas comas son exactamente del mismo tamaño, resulta una octava de 5 tonos + 2 semitonos diatónicos, 5 × 9 + 2 × 4 = 53 comas iguales. Holder [17] atribuye la división de la octava en 53 partes iguales a Nicholas Mercator [18] , quien habría llamado a la parte 1/53 de la octava la "coma artificial".
La coma de Mercator es un nombre que se utiliza a menudo para un intervalo estrechamente relacionado debido a su asociación con Nicholas Mercator. [19] Uno de estos intervalos fue descrito por primera vez por Ching-Fang en el 45 a. C. [15] Mercator aplicó logaritmos para determinar que (≈ 21,8182 cents) era casi equivalente a una coma sintónica de ≈ 21,5063 cents (una característica del temperamento medio predominante de la época). También consideró que una "coma artificial" de podría ser útil, porque 31 octavas podrían aproximarse prácticamente con un ciclo de 53 quintas justas . William Holder , por quien se nombró la coma holdriana, favoreció esta última unidad porque los intervalos de 53 temperamentos iguales están más cerca de la entonación justa que los de 55. Por lo tanto, la coma de Mercator y la coma holdriana son dos intervalos distintos pero relacionados.
La coma holdriana ha sido empleada principalmente en la teoría musical otomana/turca por Kemal Ilerici y por el compositor turco Erol Sayan. El nombre de esta coma es Holder koması en turco.
Por ejemplo, el Rast makam (similar a la escala mayor occidental , o más precisamente a la escala mayor correctamente afinada ) puede considerarse en términos de comas holdrianas:
dónde
denota una coma holdriana bemol, [i]
mientras que, en contraste, el makam de Nihavend (similar a la escala menor occidental ):
donde ♭ denota un bemol de cinco comas, tiene segundas medias entre re–mi ♭ , mi–fa , sol–la ♭ , la ♭ –b ♭ , y b ♭ –c ′ , siendo una segunda media en algún lugar entre 8 y 9 comas. [ 15]
y la séptima nota bEn Rast, las notas son incluso más bajas que en esta teoría, casi exactamente a mitad de camino entre las terceras mayores y menores occidentales por encima de do y sol , es decir, más cerca de 6,5 comas (tres cuartos de tono) por encima de re o la y 6,5 por debajo de f o do , las terceras do–mi.y g–bLos musicólogos a menudo los denominan " terceras neutrales ".El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza, que nunca se ha publicado, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulada Music for Natur-ton-systemKhramov, Mykhaylo (ed.). “Enlace a ZIP con materiales” – vía Google Drive.
![{\displaystyle {\sqrt[{53}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002e1680d9bd3711d8ab535f101f4a3992f1bed8)
![{\displaystyle {\sqrt[{55}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6996e93d3031bc959b8f8401eb38918ae395dd9c)