Longitud de onda Compton

Propiedad mecánica cuántica de las partículas

La longitud de onda Compton es una propiedad mecánica cuántica de una partícula , definida como la longitud de onda de un fotón cuya energía es la misma que la energía en reposo de esa partícula (véase equivalencia masa-energía ). Fue introducida por Arthur Compton en 1923 en su explicación de la dispersión de fotones por electrones (un proceso conocido como dispersión Compton ).

La longitud de onda Compton estándar λ de una partícula de masa está dada por donde h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz . La frecuencia correspondiente f está dada por y la frecuencia angular ω está dada por ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}},}$$ $${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$$

El valor CODATA 2022 para la longitud de onda Compton del electrón es2.426 310 235 38 (76) × 10 ⁻¹²  m . ^[1] Otras partículas tienen diferentes longitudes de onda Compton.

Longitud de onda Compton reducida

La longitud de onda Compton reducida ƛ ( lambda barrada , indicada a continuación por ) se define como la longitud de onda Compton dividida por 2 π : ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$

donde ħ es la constante de Planck reducida .

Papel en las ecuaciones para partículas masivas

La longitud de onda Compton reducida inversa es una representación natural de la masa en la escala cuántica y, como tal, aparece en muchas de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. ^{[ cita requerida ]} La longitud de onda Compton reducida aparece en la ecuación relativista de Klein-Gordon para una partícula libre: $${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

Aparece en la ecuación de Dirac (la siguiente es una forma explícitamente covariante que emplea la convención de suma de Einstein ): $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

La longitud de onda reducida de Compton también está presente en la ecuación de Schrödinger , aunque esto no es evidente en las representaciones tradicionales de la ecuación. La siguiente es la representación tradicional de la ecuación de Schrödinger para un electrón en un átomo similar al hidrógeno : $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

Dividiendo por y reescribiendo en términos de la constante de estructura fina , se obtiene: ${\displaystyle \hbar c}$ $${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

Distinción entre reducido y no reducido

La longitud de onda Compton reducida es una representación natural de la masa en la escala cuántica y se utiliza en ecuaciones relacionadas con la masa inercial, como las ecuaciones de Klein-Gordon y Schrödinger. ^{[2] : 18–22}

Las ecuaciones que se refieren a las longitudes de onda de los fotones que interactúan con la masa utilizan la longitud de onda Compton no reducida. Una partícula de masa m tiene una energía en reposo de E = mc ² . La longitud de onda Compton para esta partícula es la longitud de onda de un fotón de la misma energía. Para fotones de frecuencia f , la energía viene dada por que da como resultado la fórmula de longitud de onda Compton si se resuelve para λ . $${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

Limitación de la medición

La longitud de onda Compton expresa una limitación fundamental en la medición de la posición de una partícula, teniendo en cuenta la mecánica cuántica y la relatividad especial . ^[3]

Esta limitación depende de la masa m de la partícula. Para ver cómo, observe que podemos medir la posición de una partícula haciendo rebotar luz en ella, pero medir la posición con precisión requiere luz de longitud de onda corta. La luz con una longitud de onda corta consiste en fotones de alta energía. Si la energía de estos fotones excede mc ² , cuando uno golpea la partícula cuya posición se está midiendo, la colisión puede producir suficiente energía para crear una nueva partícula del mismo tipo. ^{[ cita requerida ]} Esto hace que la cuestión de la ubicación de la partícula original sea discutible.

Este argumento también muestra que la longitud de onda reducida de Compton es el límite por debajo del cual la teoría cuántica de campos (que puede describir la creación y aniquilación de partículas) se vuelve importante. El argumento anterior se puede hacer un poco más preciso de la siguiente manera. Supongamos que deseamos medir la posición de una partícula con una precisión de Δ x . Entonces, la relación de incertidumbre para la posición y el momento dice que, por lo tanto, la incertidumbre en el momento de la partícula satisface $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$ $${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$$

Usando la relación relativista entre momento y energía E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ² , cuando Δ p excede mc entonces la incertidumbre en energía es mayor que mc ² , que es suficiente energía para crear otra partícula del mismo tipo. Pero debemos excluir esta mayor incertidumbre energética. Físicamente, esto se excluye mediante la creación de una o más partículas adicionales para mantener la incertidumbre de momento de cada partícula en o por debajo de mc . En particular, la incertidumbre mínima es cuando el fotón dispersado tiene energía límite igual a la energía de observación incidente. De ello se deduce que hay un mínimo fundamental para Δ x : $${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$$

Por lo tanto, la incertidumbre en la posición debe ser mayor que la mitad de la longitud de onda Compton reducida ħ / mc .

Relación con otras constantes

Las longitudes atómicas, los números de onda y las áreas típicas de la física se pueden relacionar con la longitud de onda Compton reducida para el electrón ( ) y la ${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$constante de estructura fina electromagnética ( ). ${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$

El radio de Bohr está relacionado con la longitud de onda de Compton por: $${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

El radio clásico del electrón es aproximadamente 3 veces mayor que el radio del protón y se escribe: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

La constante de Rydberg , que tiene dimensiones de número de onda lineal , se escribe: $${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$$

Esto produce la secuencia: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.}$$

En el caso de los fermiones , la longitud de onda Compton reducida establece la sección transversal de las interacciones. Por ejemplo, la sección transversal para la dispersión de Thomson de un fotón de un electrón es igual a ^{[ aclaración necesaria ],} que es aproximadamente la misma que el área de la sección transversal de un núcleo de hierro-56. En el caso de los bosones gauge , la longitud de onda Compton establece el rango efectivo de la interacción de Yukawa : dado que el fotón no tiene masa, el electromagnetismo tiene un rango infinito. $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},}$$

La masa de Planck es el orden de masa para el cual la longitud de onda de Compton y el radio de Schwarzschild son iguales, cuando su valor es cercano a la longitud de Planck ( ). El radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, mientras que la longitud de onda de Compton es proporcional a la inversa de la masa. La masa y la longitud de Planck se definen por: ${\displaystyle r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

$${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$$ $${\displaystyle l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.}$$

Interpretación geométrica

Se ha demostrado un origen geométrico de la longitud de onda Compton utilizando ecuaciones semiclásicas que describen el movimiento de un paquete de ondas. ^[4] En este caso, la longitud de onda Compton es igual a la raíz cuadrada de la métrica cuántica, una métrica que describe el espacio cuántico: . ${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$

Véase también

• Longitud de onda de De Broglie
• Relación de Planck-Einstein

Referencias

1. Valor CODATA 2022 para la longitud de onda Compton para el electrón del NIST .
2. Greiner, W. , Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de onda ( Berlín / Heidelberg : Springer , 1990), págs. 18-22.
3. Garay, Luis J. (1995). "Gravedad cuántica y longitud mínima". Revista Internacional de Física Moderna A . 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc/9403008 . Código Bibliográfico :1995IJMPA..10..145G. doi :10.1142/S0217751X95000085. S2CID  119520606.
4. Leblanc, C.; Malpuech, G.; Solnyshkov, DD (26 de octubre de 2021). "Ecuaciones semiclásicas universales basadas en la métrica cuántica para un sistema de dos bandas". Physical Review B . 104 (13): 134312. arXiv : 2106.12383 . Código Bibliográfico :2021PhRvB.104m4312L. doi :10.1103/PhysRevB.104.134312. ISSN  2469-9950. S2CID  235606464.

Enlaces externos

• Escalas de longitud en física: la longitud de onda Compton