En teoría de la probabilidad , la evolución de Schramm-Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner ( SLE κ ), es una familia de curvas planas aleatorias que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos reticulares bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , se obtiene una familia de curvas aleatorias en U , donde κ controla cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE, SLE cordal que proporciona una familia de curvas aleatorias desde dos puntos límite fijos, y SLE radial , que proporciona una familia de curvas aleatorias desde un punto límite fijo hasta un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de Markov de dominio .
Además de UST y LERW, se conjetura o se ha demostrado que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , las caminatas que se evitan a sí mismas y otros. Modelos críticos de mecánica estadística que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias que no se intersecan en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planas en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). . De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planos se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itô . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas hechas por físicos que utilizan la teoría de campos conforme se han demostrado utilizando esta estrategia.
La ecuación de Loewner
Si es un dominio complejo abierto , simplemente conexo , no igual a y es una curva simple que comienza en la frontera (una función continua con en la frontera de y un subconjunto de ), entonces, para cada uno , el complemento
de es simplemente conexo y por lo tanto conformemente isomorfo a por el teorema de mapeo de Riemann . Si es un isomorfismo normalizado adecuado de a , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923, p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente utilizar la función inversa de , que es una aplicación conforme de a .
En la ecuación de Loewner, , y los valores límite en el momento son o . La ecuación depende de una función impulsora que toma valores en el límite de . Si
es la unidad de disco y la curva está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es
o
Cuando es el semiplano superior, la ecuación de Loewner difiere de esta por cambios de variable y es
o
La función de conducción y la curva están relacionadas por
donde y se extienden por continuidad.
Ejemplo
Sea el semiplano superior y considere un SLE 0 , por lo que la función impulsora es un movimiento browniano de difusividad cero. Por lo tanto, la función es idénticamente cero casi con seguridad y
es el semiplano superior con la línea de 0 a eliminada.
Evolución de Schramm-Loewner
La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función motriz.
donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm-Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener en este mapa.
En general, la curva γ no tiene por qué ser simple, y el dominio D t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es el componente ilimitado del complemento.
Hay dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :
Cordal SLE κ , que está relacionado con curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el medio plano superior, siendo los puntos 0 e infinito).
SLE radial κ , que está relacionado con curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).
El SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen varias variaciones dependiendo del tipo de movimiento browniano que se utilice: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo o comenzar en un punto uniformemente distribuido en la unidad. círculo, o podría tener una deriva incorporada, etc. El parámetro κ controla la velocidad de difusión del movimiento browniano y el comportamiento del LES depende fundamentalmente de su valor.
Los dos dominios más utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el disco unitario. Aunque la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes hasta cambios de variables, ya que el disco unitario y el semiplano superior son conformemente equivalentes. Sin embargo, una equivalencia conforme entre ellos no preserva el movimiento browniano en sus límites utilizado para impulsar la evolución de Schramm-Loewner.
Valores especiales de κ
Para 0 ≤ κ < 4 la curva γ( t ) es simple (con probabilidad 1).
Para 4 < κ < 8 la curva γ( t ) se cruza a sí misma y cada punto está contenido en un bucle, pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).
Para κ ≥ 8, la curva γ( t ) llena el espacio (con probabilidad 1).
κ = 4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y las curvas de nivel del campo libre gaussiano .
Interfaz de percolación: haga un rombo de hexágonos del mismo tamaño en el plano. Colorea su lado superior e izquierdo con negro, y el lado inferior y derecho con blanco. Luego colorea los otros hexágonos “blanco” o “negro” independientemente con igual probabilidad 1/2. Hay un límite entre el blanco y el negro, que va desde abajo a la izquierda hasta arriba a la derecha. El límite de escala del límite es κ = 6.
Para κ = 6, SLE κ tiene la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en la red triangular y, conjeturalmente, en otras redes.
κ = 8 corresponde al camino que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.
Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campos conforme, el parámetro κ está relacionado con la carga central c
de la teoría de campos conforme por
Cada valor de c < 1 corresponde a dos valores de κ , un valor κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16/ κ mayor que 4. (ver Bauer y Bernard (2002a) Bauer y Bernard (2002b))
Beffara (2008) demostró que la dimensión de Hausdorff de los caminos (con probabilidad 1) es igual a min(2, 1 + κ /8).
Fórmulas de probabilidad de paso por la izquierda para LES κ
Schramm ( 2001a ) calculó la probabilidad de que el LES cordal κ γ esté a la izquierda del punto fijo.
y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para
Para κ = 4, el RHS es , que se utilizó en la construcción del explorador armónico, [2] y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy , que fue utilizada por Smirnov para demostrar la invariancia conforme en la percolación . [3]
Aplicaciones
Lawler, Schramm y Werner (2001b) utilizaron SLE 6 para demostrar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano plano tiene una dimensión fractal de 4/3.
Stanislav Smirnov demostró que la percolación crítica en la red triangular está relacionada con SLE 6 . [4] Combinado con trabajos anteriores de Harry Kesten , [5] esto llevó a la determinación de muchos de los exponentes críticos de la filtración. [6] Este avance, a su vez, permitió un análisis más detallado de muchos aspectos de este modelo. [7] [8]
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Otras lecturas
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