La escalera de Schild

Método de primer orden para aproximar el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva

Dos peldaños de la escalera de Schild. Los segmentos A ₁ X ₁ y A ₂ X ₂ son una aproximación de primer orden del transporte paralelo de A ₀ X ₀ a lo largo de la curva.

En la teoría de la relatividad general y, de manera más general, en la geometría diferencial , la escalera de Schild es un método de primer orden para aproximar el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva utilizando solo geodésicas parametrizadas de manera afín . El método recibe su nombre de Alfred Schild , quien lo introdujo durante unas conferencias en la Universidad de Princeton .

Construcción

La idea es identificar un vector tangente x en un punto con un segmento geodésico de longitud unitaria y construir un paralelogramo aproximado con lados aproximadamente paralelos y como una aproximación del paralelogramoide de Levi-Civita ; el nuevo segmento corresponde así a un vector tangente trasladado aproximadamente paralelo en ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}X_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}X_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}X_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}X_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}.}$

Formalmente, considere una curva γ a través de un punto A ₀ en una variedad de Riemann M , y sea x un vector tangente en A ₀ . Entonces x puede identificarse con un segmento geodésico A ₀ X ₀ a través de la función exponencial . Esta geodésica σ satisface

${\displaystyle \sigma (0)=A_{0}\,}$

${\displaystyle \sigma '(0)=x.\,}$

Los pasos de la construcción de la escalera de Schild son:

• Sea X ₀ = σ(1), por lo que el segmento geodésico tiene longitud unitaria. ${\displaystyle A_{0}X_{0}}$
• Sea ahora A ₁ un punto en γ cercano a A ₀ , y construya la geodésica X ₀ A ₁ .
• Sea P ₁ el punto medio de X ₀ A ₁ en el sentido de que los segmentos X ₀ P ₁ y P ₁ A ₁ toman un parámetro afín igual para recorrerlos.
• Construya la geodésica A ₀ P ₁ y extiéndala hasta un punto X ₁ de modo que la longitud del parámetro de A ₀ X ₁ sea el doble de la de A ₀ P ₁ .
• Finalmente construimos la geodésica A ₁ X ₁ . La tangente a esta geodésica x ₁ es entonces el transporte paralelo de X ₀ a A ₁ , al menos de primer orden.

Aproximación

Esta es una aproximación discreta del proceso continuo de transporte paralelo. Si el espacio ambiente es plano, se trata exactamente de un transporte paralelo y los pasos definen paralelogramos , que concuerdan con el paralelogramoide de Levi-Civita .

En un espacio curvo, el error viene dado por la holonomía alrededor del triángulo que es igual a la integral de la curvatura sobre el interior del triángulo, por el teorema de Ambrose-Singer ; esta es una forma del teorema de Green (integral alrededor de una curva relacionada con la integral sobre el interior), y en el caso de las conexiones de Levi-Civita en superficies, del teorema de Gauss-Bonnet . ${\displaystyle A_{1}A_{0}X_{0},}$

Notas

1. La escalera de Schild no sólo requiere geodésicas, sino también distancias relativas a lo largo de ellas. La distancia relativa puede obtenerse mediante la parametrización afín de las geodésicas, a partir de la cual se pueden determinar los puntos medios necesarios.
2. El transporte paralelo construido mediante la escalera de Schild está necesariamente libre de torsión .
3. No se requiere una métrica de Riemann para generar las geodésicas. Pero si las geodésicas se generan a partir de una métrica de Riemann, el transporte paralelo que se construye en el límite mediante la escalera de Schild es el mismo que la conexión de Levi-Civita porque esta conexión está definida como libre de torsión.

Referencias

• Kheyfets, Arkady; Miller, Warner A.; Newton, Gregory A. (2000), "Procedimiento de transporte paralelo en escalera de Schild para una conexión arbitraria", International Journal of Theoretical Physics , 39 (12): 2891–2898, doi :10.1023/A:1026473418439, S2CID  117503563.
• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0