Conjetura de Novikov

Problema sin resolver en topología

La conjetura de Novikov es uno de los problemas sin resolver más importantes en topología . Lleva el nombre de Sergei Novikov, quien planteó originalmente la conjetura en 1965.

La conjetura de Novikov se refiere a la invariancia de homotopía de ciertos polinomios en las clases de Pontryagin de una variedad , que surgen del grupo fundamental . Según la conjetura de Novikov, las firmas superiores , que son ciertos invariantes numéricos de variedades suaves, son invariantes de homotopía .

La conjetura ha sido probada para grupos abelianos generados finitamente . Aún no se sabe si la conjetura de Novikov es válida para todos los grupos. No se conocen contraejemplos de la conjetura.

Formulación precisa de la conjetura.

Sea un grupo discreto y su espacio de clasificación , que es un espacio de tipo Eilenberg-MacLane y, por lo tanto, único hasta la equivalencia de homotopía como un complejo CW. Dejar ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

ser un mapa continuo desde una variedad dimensional cerrada orientada a , y ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

Novikov consideró la expresión numérica, encontrada al evaluar la clase de cohomología en la dimensión superior frente a la clase fundamental , y conocida como firma superior : ${\displaystyle [M]}$

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

donde está el polinomio de Hirzebruch , o a veces (de manera menos descriptiva) como el polinomio. Para cada uno , este polinomio se puede expresar en las clases de Pontryagin del paquete tangente de la variedad. La conjetura de Novikov establece que la firma superior es una invariante del tipo de homotopía orientada para cada mapa y cada clase ; en otras palabras, si es una orientación que preserva la equivalencia de homotopía, la firma superior asociada a es igual a la asociada a . ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$ ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle f}$

Conexión con la conjetura de Borel

La conjetura de Novikov es equivalente a la inyectividad racional del mapa de ensamblaje en la teoría L. La conjetura de Borel sobre la rigidez de variedades asféricas es equivalente a que el mapa de ensamblaje sea un isomorfismo.

Referencias

• Davis, James F. (2000), "Múltiples aspectos de la conjetura de Novikov" (PDF) , en Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrés ; Rosenberg, Jonathan (eds.), Encuestas sobre teoría de la cirugía. vol. 1 , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , págs. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3, señor  1747536
• John Milnor y James D. Stasheff , Clases características, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton (1974).
• Sergei P. Novikov , Construcción algebraica y propiedades de los análogos hermitianos de la teoría k sobre anillos con involución desde el punto de vista del formalismo hamiltoniano. Algunas aplicaciones a la topología diferencial y a la teoría de clases características . Izv.Akad.Nauk SSSR, v. 34, 1970 I N2, págs. 253–288; II: N3, págs. 475–500. Resumen en inglés en Actes Congr. Interno. Math., v. 2, 1970, págs. 39–45.

enlaces externos

• Biografía de Sergei Novikov
• Bibliografía de la conjetura de Novikov
• Conjetura de Novikov 1993 Actas de la conferencia de Oberwolfach, Volumen 1
• Conjetura de Novikov 1993 Actas de la conferencia de Oberwolfach, Volumen 2
• Notas del seminario de Oberwolfach de 2004 sobre la conjetura de Novikov (pdf)
• Artículo de Scholarpedia de SP Novikov (2010)
• La conjetura de Novikov en el Atlas múltiple