Elemento de volumen

Concepto en la teoría de la integración

En matemáticas , un elemento de volumen proporciona un medio para integrar una función con respecto al volumen en varios sistemas de coordenadas, como coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas . Por lo tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma donde son las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto se puede calcular mediante Por ejemplo, en coordenadas esféricas , y así sucesivamente . $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$ ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

La noción de un elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones se lo conoce a menudo como el elemento de área , y en este contexto es útil para hacer integrales de superficie . Bajo cambios de coordenadas, el elemento de volumen cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano de la transformación de coordenadas (por la fórmula de cambio de variables ). Este hecho permite que los elementos de volumen se definan como un tipo de medida en una variedad . En una variedad orientable diferenciable , un elemento de volumen surge típicamente de una forma de volumen : una forma diferencial de grado superior . En una variedad no orientable, el elemento de volumen es típicamente el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente): define una 1-densidad .

Elemento de volumen en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano , el elemento de volumen está dado por el producto de las diferenciales de las coordenadas cartesianas En diferentes sistemas de coordenadas de la forma , , , el elemento de volumen cambia por el jacobiano (determinante) del cambio de coordenadas: Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática) el determinante jacobiano es tal que Esto puede verse como un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman a través de un pullback como $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$ ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$ ${\displaystyle F^{*}}$ $${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

Elemento de volumen de un subespacio lineal

Consideremos el subespacio lineal del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ que está generado por una colección de vectores linealmente independientes . Para encontrar el elemento de volumen del subespacio, es útil conocer el hecho, a partir del álgebra lineal, de que el volumen del paralelepípedo generado por es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gram de : $${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

A cualquier punto p en el subespacio se le pueden dar coordenadas tales que En un punto p , si formamos un pequeño paralelepípedo con lados , entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz grammiana Esto, por tanto, define la forma del volumen en el subespacio lineal. ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$ $${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

Elemento de volumen de colectores

En una variedad riemanniana orientada de dimensión n , el elemento de volumen es una forma de volumen igual al dual de Hodge de la función constante unitaria, : Equivalentemente, el elemento de volumen es precisamente el tensor de Levi-Civita . ^[1] En coordenadas, donde es el determinante del tensor métrico g escrito en el sistema de coordenadas. ${\displaystyle f(x)=1}$ $${\displaystyle \omega =\star 1.}$$ ${\displaystyle \epsilon }$ $${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$ ${\displaystyle \det g}$

Elemento de área de una superficie

Un ejemplo simple de un elemento de volumen se puede explorar considerando una superficie bidimensional incrustada en un espacio euclidiano n -dimensional . Un elemento de volumen de este tipo a veces se denomina elemento de área . Considere un subconjunto y una función de mapeo que define una superficie incrustada en . En dos dimensiones, el volumen es solo área, y un elemento de volumen proporciona una forma de determinar el área de partes de la superficie. Por lo tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma que permite calcular el área de un conjunto B que se encuentra en la superficie calculando la integral ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

Aquí encontraremos el elemento de volumen en la superficie que define el área en el sentido habitual. La matriz jacobiana de la aplicación tiene un índice i que va de 1 a n y un índice j que va de 1 a 2. La métrica euclidiana en el espacio n -dimensional induce una métrica en el conjunto U , con elementos de matriz $${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$ ${\displaystyle g=J^{T}J}$ $${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

El determinante de la métrica viene dado por $${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

Para una superficie regular, este determinante no se desvanece; equivalentemente, la matriz jacobiana tiene rango 2.

Consideremos ahora un cambio de coordenadas en U , dado por un difeomorfismo de modo que las coordenadas están dadas en términos de por . La matriz jacobiana de esta transformación está dada por $${\displaystyle f\colon U\to U,}$$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$ $${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

En las nuevas coordenadas, tenemos y por lo tanto la métrica se transforma como donde es la métrica de retroceso en el sistema de coordenadas v . El determinante es $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ $${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

Dada la construcción anterior, ahora debería ser sencillo comprender cómo el elemento de volumen es invariante bajo un cambio de coordenadas que preserva la orientación.

En dos dimensiones, el volumen es simplemente el área. El área de un subconjunto está dada por la integral ${\displaystyle B\subset U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

Así, en cualquier sistema de coordenadas, el elemento de volumen toma la misma expresión: la expresión del elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas.

Tenga en cuenta que no había nada particular para dos dimensiones en la presentación anterior; lo anterior se generaliza trivialmente a dimensiones arbitrarias.

Ejemplo: Esfera

Por ejemplo, considere la esfera con radio r centrada en el origen en R ³ . Esto se puede parametrizar utilizando coordenadas esféricas con el mapa Entonces y el elemento de área es $${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$ $${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

Véase también

• Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
• Integral de volumen
• Integral de superficie
• Integral de línea
• Elemento de línea

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8

1. Carroll, Sean. Espacio-tiempo y geometría . Addison Wesley, 2004, pág. 90