teorema de linnik

Teorema matemático

El teorema de Linnik en teoría analítica de números responde a una pregunta natural después del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Afirma que existen c y L positivos tales que, si denotamos p( a , d ) el menor primo en la progresión aritmética

${\displaystyle a+nd,\ }$

donde n pasa por los enteros positivos y a y d son enteros coprimos positivos dados con 1 ≤ a ≤ d − 1, entonces:

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<cd^{L}.\;}$

El teorema lleva el nombre de Yuri Vladimirovich Linnik , quien lo demostró en 1944. ^{[1] [2]} Aunque la demostración de Linnik demostró que cy L eran efectivamente computables , no proporcionó valores numéricos para ellos.

Del teorema de Zsigmondy se deduce que p(1, d ) ≤ 2 ^d − 1, para todo d ≥ 3. Se sabe que p(1, p ) ≤ L _p , para todos los primos p ≥ 5, ya que L _p es congruente a 1 módulo p para todos los números primos p , donde L _p denota el p -ésimo número de Lucas . Al igual que los números de Mersenne , los números de Lucas con índices primos tienen divisores de la forma 2 kp +1.

Propiedades

Se sabe que L ≤ 2 para casi todos los números enteros d . ^[3]

Sobre la hipótesis generalizada de Riemann se puede demostrar que

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

¿Dónde está la función totiente , ^[4] y el límite más fuerte? ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

también ha sido demostrado. ^[5]

También se conjetura que:

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

límites paral

La constante L se llama constante de Linnik ^[6] y en la siguiente tabla se muestra el progreso que se ha realizado en la determinación de su tamaño.

Además, en el resultado de Heath-Brown la constante c es efectivamente computable.

Notas

1. Linnik, Yu. V. (1944). "Sobre el menor primo en una progresión aritmética I. El teorema básico". Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) . Nueva Serie. 15 (57): 139-178. SEÑOR  0012111.
2. Linnik, Yu. V. (1944). "Sobre el menor primo en una progresión aritmética II. El fenómeno de Deuring-Heilbronn". Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) . Nueva Serie. 15 (57): 347–368. SEÑOR  0012112.
3. Bombieri, Enrico ; Friedlander, John B .; Iwaniec, Henryk (1989). "Primos en progresiones aritméticas a módulos grandes. III". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 2 (2): 215–224. doi : 10.2307/1990976 . JSTOR  1990976. SEÑOR  0976723.
4. Heath-Brown, Roger (1992). "Regiones libres de cero para funciones L de Dirichlet y las menos primas en una progresión aritmética". Proc. Matemáticas de Londres. Soc. 64 (3): 265–338. doi :10.1112/plms/s3-64.2.265. SEÑOR  1143227.
5. Lamzouri, Y.; Li, X.; Soundararajan, K. (2015). "Límites condicionales para los problemas menos cuadráticos sin residuos y relacionados". Matemáticas. comp . 84 (295): 2391–2412. arXiv : 1309.3595 . doi :10.1090/S0025-5718-2015-02925-1. S2CID  15306240.
6. Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Libros de problemas en matemáticas. vol. 1 (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 22.doi :10.1007/978-0-387-26677-0 . ISBN 978-0-387-20860-2. SEÑOR  2076335.
7. Pan, Cheng Dong (1957). "En el número primo menor de una progresión aritmética". Ciencia. Registro . Series nuevas. 1 : 311–313. SEÑOR  0105398.
8. Chen, Jingrun (1965). "En el número primo menor de una progresión aritmética". Ciencia. Sínica . 14 : 1868–1871.
9. Jutila, Matti (1970). "Una nueva estimación de la constante de Linnik". Ana. Acad. Ciencia. Fenn. Ser. A . 471 . SEÑOR  0271056.
10. Chen, Jingrun (1977). "Sobre el primo menor en una progresión aritmética y dos teoremas sobre los ceros de las funciones $ L $ de Dirichlet". Ciencia. Sínica . 20 (5): 529–562. SEÑOR  0476668.
11. Jutila, Matti (1977). "Sobre la constante de Linnik". Matemáticas. Escanear . 41 (1): 45–62. doi : 10.7146/math.scand.a-11701 . SEÑOR  0476671.
12. Graham, Sidney West (1977). Aplicaciones de los métodos de tamiz (Ph.D.). Ann Arbor, Michigan: Univ. Michigan. SEÑOR  2627480.
13. Graham, SO (1981). "Sobre la constante de Linnik". Acta Arith. 39 (2): 163-179. doi : 10.4064/aa-39-2-163-179 . SEÑOR  0639625.
14. Chen, Jingrun (1979). "Sobre el primo menor en una progresión aritmética y teoremas sobre los ceros de las funciones $ L $ de Dirichlet. II". Ciencia. Sínica . 22 (8): 859–889. SEÑOR  0549597.
15. Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). "Sobre el menor primo en una progresión aritmética. III". Ciencia en China Serie A: Matemáticas . 32 (6): 654–673. SEÑOR  1056044.
16. Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). "Sobre el menor primo en una progresión aritmética. IV". Ciencia en China Serie A: Matemáticas . 32 (7): 792–807. Señor  1058000.
17. Wang, Wei (1991). "En el número primo menor de una progresión aritmética". Acta Mathematica Sínica . Series nuevas. 7 (3): 279–288. doi :10.1007/BF02583005. SEÑOR  1141242. S2CID  121701036.
18. Xylouris, Triantafyllos (2011). "Sobre la constante de Linnik". Acta Arith. 150 (1): 65–91. doi : 10.4064/aa150-1-4 . SEÑOR  2825574.
19. Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [ Los ceros de las funciones L de Dirichlet y el menor primo en una progresión aritmética ] (Tesis para el grado de Doctor en Matemáticas y Ciencias Naturales) (en alemán) . Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. SEÑOR  3086819.