El esquema de Godunov

En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el esquema de Godunov es un esquema numérico conservador , sugerido por Sergei Godunov en 1959, ^[1] para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Se puede pensar en este método como un método conservador de volúmenes finitos que resuelve problemas de Riemann exactos o aproximados en cada límite entre celdas. En su forma básica, el método de Godunov tiene una precisión de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo, pero puede usarse como esquema base para desarrollar métodos de orden superior.

Esquema básico

Siguiendo el marco del método clásico de volúmenes finitos , buscamos rastrear un conjunto finito de incógnitas discretas, donde y forman un conjunto discreto de puntos para el problema hiperbólico: donde los índices y indican las derivadas en el tiempo y el espacio, respectivamente. Si integramos el problema hiperbólico sobre un volumen de control, obtenemos una formulación del método de líneas (MOL) para los promedios de celdas espaciales: que es una descripción clásica del método de volumen finito de primer orden, contra el viento. ^[2] $${\displaystyle Q_{i}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}q(t^{n},x)\,dx}$$ ${\displaystyle x_{i-1/2}=x_{\text{low}}+\left(i-1/2\right)\Delta x}$ ${\displaystyle t^{n}=n\Delta t}$ $${\displaystyle q_{t}+(f(q))_{x}=0,}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x_{i-1/2},x_{i+1/2}],}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q_{i}(t)=-{\frac {1}{\Delta x}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right),}$$

La integración en el tiempo exacto de la fórmula anterior de vez en cuando produce la fórmula de actualización exacta: ${\displaystyle t=t^{n}}$ ${\displaystyle t=t^{n+1}}$ $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-{\frac {1}{\Delta x}}\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right)\,dt.}$$

El método de Godunov reemplaza la integral de tiempo de cada una con un método de Euler directo que produce una fórmula de actualización totalmente discreta para cada una de las incógnitas . Es decir, aproximamos las integrales con donde es una aproximación a la solución exacta del problema de Riemann. Por coherencia, se supone que y that aumentan en el primer argumento y disminuyen en el segundo argumento. Para problemas escalares donde , se puede utilizar el esquema Upwind simple , que define . $${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt}$$ ${\displaystyle Q_{i}^{n}}$ $${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt\approx \Delta tf^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right),}$$ ${\displaystyle f^{\downarrow }\left(q_{l},q_{r}\right)}$ $${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})\quad {\text{ if }}\quad q_{l}=q_{r},}$$ ${\displaystyle f^{\downarrow }}$ ${\displaystyle f'(q)>0}$ ${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})}$

El esquema completo de Godunov requiere la definición de un solucionador de Riemann aproximado o exacto , pero en su forma más básica viene dado por: $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\lambda \left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),\quad \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}},\quad {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}=f^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right)}$$

problema lineal

En el caso de un problema lineal, donde , y sin pérdida de generalidad, asumiremos que , el método de Godunov a contracorriente produce: lo que produce el esquema clásico de volumen finito de primer orden, a contracorriente, cuya estabilidad requiere . ${\displaystyle f(q)=aq}$ ${\displaystyle a>0}$ $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\nu \left(Q_{i}^{n}-Q_{i-1}^{n}\right),\quad \nu =a{\frac {\Delta t}{\Delta x}},}$$ ${\displaystyle \nu =\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1}$

Algoritmo de tres pasos

Siguiendo a Hirsch, ^[3] el esquema implica tres pasos distintos para obtener la solución en a partir de la solución conocida en , de la siguiente manera: ${\displaystyle t=(n+1)\Delta t\,}$ ${\displaystyle {t=n\Delta t}\,}$

1. Defina la aproximación constante por partes de la solución en . Dado que la aproximación constante por partes es un promedio de la solución sobre la celda de tamaño , el error espacial es de orden y, por lo tanto, el esquema resultante tendrá una precisión de primer orden en el espacio. Tenga en cuenta que esta aproximación corresponde a una representación del método de volumen finito mediante la cual los valores discretos representan promedios de las variables de estado en las celdas. Las relaciones exactas para los valores de celda promediados se pueden obtener a partir de las leyes de conservación integral. ${\displaystyle {t=(n+1)\Delta t}\,}$ ${\displaystyle {\Delta x}\,}$ ${\displaystyle {\Delta x}\,}$
2. Obtenga la solución para el problema local de Riemann en las interfaces de las celdas. Este es el único paso físico de todo el procedimiento. Las discontinuidades en las interfaces se resuelven en una superposición de ondas que satisfacen localmente las ecuaciones de conservación. El método Godunov original se basa en la solución exacta de los problemas de Riemann. Sin embargo, se pueden aplicar soluciones aproximadas como alternativa.
3. Promediar las variables de estado después de un intervalo de tiempo . Las variables de estado obtenidas después del Paso 2 se promedian sobre cada celda definiendo una nueva aproximación constante por partes resultante de la propagación de la onda durante el intervalo de tiempo . Para ser coherente, el intervalo de tiempo debe limitarse de modo que las ondas que emanan de una interfaz no interactúen con las ondas creadas en las interfaces adyacentes. De lo contrario, la situación dentro de una célula se vería influenciada por problemas de Riemann interactuantes. Esto conduce a la condición CFL donde es la velocidad de onda máxima obtenida a partir de los valores propios de la celda de la matriz jacobiana local . ${\displaystyle {\Delta t}\,}$ ${\displaystyle {\Delta t}\,}$ ${\displaystyle {\Delta t}\,}$ ${\displaystyle |a_{\max }|\Delta t<\Delta x/2\,}$ ${\displaystyle |a_{\max }|\,}$

El primer y tercer paso son únicamente de naturaleza numérica y pueden considerarse como una etapa de proyección , independiente del segundo paso físico, la etapa de evolución . Por lo tanto, se pueden modificar sin influir en la entrada física, por ejemplo, reemplazando la aproximación constante por partes por una variación lineal por partes dentro de cada celda, lo que lleva a la definición de esquemas de segundo orden con precisión espacial, como el esquema MUSCL .

Ver también

• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Método Lax-Friedrichs
• Esquema MUSCL
• Serguéi Godunov
• Variación total disminuyendo
• Teorema de Lax-Wendroff
• Método de división aguas arriba por advección

Referencias

1. Godunov, SK (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [Un esquema de diferencia para la solución numérica de la solución discontinua de ecuaciones hidrodinámicas]. Estera. Sbornik . 47 : 271–306. SEÑOR  0119433. Zbl  0171.46204.Publicación conjunta traducida de EE. UU. Res. Servicio, JPRS 7226, 1969.
2. Leveque, Randy J. (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-81087-6.
3. Hirsch, C. (1990). Cálculo Numérico de Flujos Internos y Externos . vol. 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0.

Otras lecturas

• Laney, Culbert B. (1998). Gasdinámica computacional . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-57069-7.
• Toro, EF (1999). Solvers de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Tannehill, John C.; et al. (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2ª ed.). Washington: Taylor y Francis. ISBN 1-56032-046-X.
• Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.