Ecuación de Chapman-Kolmogorov

Ecuación de la teoría de la probabilidad.

En matemáticas , específicamente en la teoría de los procesos estocásticos de Markov en teoría de la probabilidad , la ecuación de Chapman-Kolmogorov (CKE) es una identidad que relaciona las distribuciones de probabilidad conjuntas de diferentes conjuntos de coordenadas en un proceso estocástico. La ecuación fue derivada de forma independiente tanto por el matemático británico Sydney Chapman como por el matemático ruso Andrey Kolmogorov . El CKE se utiliza de forma destacada en los métodos bayesianos variacionales recientes .

Descripción matemática

Supongamos que { f _i } es una colección indexada de variables aleatorias , es decir, un proceso estocástico. Dejar

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

Sea la función de densidad de probabilidad conjunta de los valores de las variables aleatorias f ₁ a f _n . Entonces, la ecuación de Chapman-Kolmogorov es

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

es decir, una marginación directa respecto de la variable molestia .

(Nótese que todavía no se ha supuesto nada sobre el orden temporal (o cualquier otro) de las variables aleatorias; la ecuación anterior se aplica igualmente a la marginación de cualquiera de ellas.)

En términos de núcleos de Markov

Si consideramos los núcleos de Markov inducidos por las transiciones de un proceso de Markov , se puede considerar que la ecuación de Chapman-Kolmogorov proporciona una forma de componer el núcleo, generalizando la forma en que se componen las matrices estocásticas . Dado un espacio medible y un núcleo de Markov , el núcleo de transición de dos pasos viene dado por ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle k^{2}:(X,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {A}})}$

${\displaystyle k^{2}(A|x)=\int _{Y}k(A|x')\,k(dx'|x)}$

para todos y . ^[1] Se puede interpretar esto como una suma, sobre todos los estados intermedios, de pares de transiciones probabilísticas independientes. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

De manera más general, dados espacios medibles , y , y núcleos de Markov y , obtenemos un núcleo compuesto por ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle h:(Y,{\mathcal {B}})\to (Z,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle h\circ k:(X,{\mathcal {A}})\to (Z,{\mathcal {C}})}$

${\displaystyle (h\circ k)(C|x)=\int _{Y}h(C|x)\,k(dy|x)}$

para todos y . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$

Debido a esto, los núcleos de Markov , al igual que las matrices estocásticas , forman una categoría .

Aplicación a cadenas de Markov dilatadas en el tiempo.

Cuando el proceso estocástico considerado es markoviano , la ecuación de Chapman-Kolmogorov es equivalente a una identidad sobre densidades de transición. En el entorno de la cadena de Markov, se supone que i ₁  < ... <  i _n . Entonces, debido a la propiedad de Markov ,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

donde la probabilidad condicional es la probabilidad de transición entre los tiempos . Entonces, la ecuación de Chapman-Kolmogorov toma la forma ${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$ ${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

Informalmente, esto dice que la probabilidad de pasar del estado 1 al estado 3 se puede encontrar a partir de las probabilidades de pasar de 1 a un estado intermedio 2 y luego de 2 a 3, sumando todos los posibles estados intermedios 2.

Cuando la distribución de probabilidad en el espacio de estados de una cadena de Markov es discreta y la cadena de Markov es homogénea, las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov se pueden expresar en términos de multiplicación de matrices (posiblemente de dimensión infinita) , así:

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

donde P ( t ) es la matriz de transición del salto t , es decir, P ( t ) es la matriz tal que la entrada (i,j) contiene la probabilidad de que la cadena se mueva del estado i al estado j en t pasos.

Como corolario, se deduce que para calcular la matriz de transición del salto t , basta con elevar la matriz de transición del salto uno a la potencia de t , es decir

${\displaystyle P(t)=P^{t}.\,}$

La forma diferencial de la ecuación de Chapman-Kolmogorov se conoce como ecuación maestra .

Ver también

• Ecuación de Fokker-Planck (también conocida como ecuación directa de Kolmogorov)
• Ecuación hacia atrás de Kolmogorov
• Ejemplos de cadenas de Markov
• Categoría de núcleos de Markov

Citas

1. Perrone (2024), págs. 10-11

Otras lecturas

• Pavliotis, Grigorios A. (2014). "Procesos de Markov y la ecuación de Chapman-Kolmogorov". Procesos y aplicaciones estocásticos . Nueva York: Springer. págs. 33–38. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Ross, Sheldon M. (2014). "Capítulo 4.2: Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov". Introducción a los modelos de probabilidad (11ª ed.). Prensa académica. pag. 187.ISBN​ 978-0-12-407948-9.
• Perrone, Paolo (2024). Teoría de categorías iniciales. Científico mundial. págs.10, 11. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Chapman-Kolmogorov". MundoMatemático .