Teorema de Prokhorov

Relaciona la rigidez de las medidas con la compacidad relativa en el espacio de las medidas de probabilidad.

En la teoría de la medida, el teorema de Prokhorov relaciona la estrechez de las medidas con la compacidad relativa (y, por lo tanto, la convergencia débil ) en el espacio de las medidas de probabilidad . Se le atribuye al matemático soviético Yuri Vasilyevich Prokhorov , quien consideró las medidas de probabilidad en espacios métricos completamente separables. El término "teorema de Prokhorov" también se aplica a generalizaciones posteriores tanto a los enunciados directos como a los inversos.

Declaración

Sea un espacio métrico separable . Sea la colección de todas las medidas de probabilidad definidas en (con su σ-álgebra de Borel ). ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

Teorema.

1. Una colección de medidas de probabilidad es ajustada si y sólo si el cierre de es secuencialmente compacto en el espacio equipado con la topología de convergencia débil . ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
2. El espacio con topología de convergencia débil es metrizable . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
3. Supóngase que además, es un espacio métrico completo (por lo que es un espacio polaco ). Existe una métrica completa en equivalente a la topología de convergencia débil; además, es ajustado si y solo si la clausura de en es compacta. ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$

Corolarios

Para los espacios euclidianos tenemos que:

• Si es una secuencia ajustada en (la colección de medidas de probabilidad en el espacio euclidiano -dimensional ), entonces existe una subsecuencia y una medida de probabilidad tal que converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$ ${\displaystyle \mu }$
• Si es una secuencia apretada en tal que cada subsecuencia débilmente convergente tiene el mismo límite , entonces la secuencia converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle \mu }$

Extensión

El teorema de Prokhorov puede extenderse para considerar medidas complejas o medidas con signo finitas .

Teorema: Supóngase que es un espacio métrico separable completo y es una familia de medidas complejas de Borel en . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle \Pi }$es secuencialmente precompacta; es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia débilmente convergente. ${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$
• ${\displaystyle \Pi }$es estricto y está uniformemente limitado en la norma de variación total .

Comentarios

Dado que el teorema de Prokhorov expresa la estrechez en términos de compacidad, el teorema de Arzelà-Ascoli se utiliza a menudo para sustituir la compacidad: en espacios funcionales, esto conduce a una caracterización de la estrechez en términos del módulo de continuidad o un análogo apropiado (véase estrechez en el espacio clásico de Wiener y estrechez en el espacio de Skorokhod) .

Existen varias extensiones profundas y no triviales del teorema de Prokhorov. Sin embargo, esos resultados no eclipsan la importancia y la relevancia para las aplicaciones del resultado original.

Véase también

• Métrica de Lévy-Prokhorov  : métrica cierta en el espacio de medidas finitasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de Sazonov
• Rigidez de las medidas  : concepto en la teoría de la medida
• Convergencia débil de medidas  – Concepto matemáticoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bogachev, Vladimir (2006). Teoría de la medida, vol. 1 y 2. Springer. ISBN 978-3-540-34513-8.
• Prokhorov, Yuri V. (1956). "Convergencia de procesos aleatorios y teoremas límite en la teoría de la probabilidad". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 1 (2): 157–214. doi :10.1137/1101016.
• Dudley, Richard M. (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman & Hall. ISBN 0-412-05161-3.