Decisión óptima

Decisión que conduce al mejor resultado en la teoría de la decisión

Una decisión óptima es una decisión que conduce a un resultado conocido o esperado al menos tan bueno como todas las demás opciones de decisión disponibles. Es un concepto importante en la teoría de la decisión . Para comparar los diferentes resultados de las decisiones, se suele asignar un valor de utilidad a cada uno de ellos.

Si existe incertidumbre sobre cuál será el resultado pero se tiene conocimiento sobre la distribución de la incertidumbre, entonces, según los axiomas de von Neumann-Morgenstern, la decisión óptima maximiza la utilidad esperada (un promedio ponderado por la probabilidad de la utilidad sobre todos los resultados posibles de una decisión). A veces, se considera el problema equivalente de minimizar el valor esperado de la pérdida , donde la pérdida es (–1) veces la utilidad. Otro problema equivalente es minimizar el arrepentimiento esperado .

"Utilidad" es sólo un término arbitrario para cuantificar la conveniencia de un resultado de decisión particular y no necesariamente relacionado con la "utilidad". Por ejemplo, puede ser que la decisión óptima para alguien sea comprar un auto deportivo en lugar de una camioneta familiar, si el resultado en términos de otro criterio (por ejemplo, el efecto sobre la imagen personal) es más deseable, incluso considerando el mayor costo y la falta de versatilidad del auto deportivo.

El problema de encontrar la decisión óptima es un problema de optimización matemática . En la práctica, pocas personas verifican que sus decisiones sean óptimas, sino que utilizan heurísticas para tomar decisiones que sean "suficientemente buenas", es decir, se dedican a satisfacer .

Se puede utilizar un enfoque más formal cuando la decisión es lo suficientemente importante como para motivar el tiempo que lleva analizarla, o cuando es demasiado compleja para resolverla con enfoques intuitivos más simples, como muchas opciones de decisión disponibles y una relación compleja entre decisión y resultado.

Descripción matemática formal

Cada decisión de un conjunto de opciones de decisión disponibles conducirá a un resultado . Todos los resultados posibles forman el conjunto . Al asignar una utilidad a cada resultado, podemos definir la utilidad de una decisión particular como ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle o=f(d)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$

Podemos entonces definir una decisión óptima como aquella que maximiza  : ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

La solución del problema puede dividirse en tres pasos:

1. Predecir el resultado de cada decisión ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle d;}$
2. Asignar una utilidad a cada resultado ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle o;}$
3. Encontrar la decisión que maximice ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U_{D}(d).}$

Bajo incertidumbre en el resultado

En caso de que no sea posible predecir con certeza cuál será el resultado de una determinada decisión, es necesario un enfoque probabilístico. En su forma más general, se puede expresar de la siguiente manera:

Dada una decisión , conocemos la distribución de probabilidad para los posibles resultados descritos por la densidad de probabilidad condicional . Considerando que es una variable aleatoria (condicional a ), podemos calcular la utilidad esperada de la decisión como ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(o|d)}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ ,

donde la integral se toma sobre todo el conjunto (DeGroot, pp 121). ${\displaystyle O}$

Una decisión óptima es entonces aquella que maximiza , tal como se indicó anteriormente: ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

Un ejemplo es el problema de Monty Hall .

Véase también

• Toma de decisiones
• Software de toma de decisiones
• Elección forzada entre dos alternativas

Referencias

• Morris DeGroot Decisiones estadísticas óptimas . McGraw-Hill. Nueva York. 1970. ISBN  0-07-016242-5 .
• James O. Berger Teoría de la decisión estadística y análisis bayesiano . Segunda edición. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8 .