teorema de egorov

Teorema sobre la convergencia uniforme

En la teoría de la medida , un área de las matemáticas , el teorema de Egorov establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente puntual de funciones mensurables . También recibe el nombre de teorema de Severini-Egoroff o teorema de Severini-Egorov , en honor a Carlo Severini , un matemático italiano , y Dmitri Egorov , un físico y geómetra ruso , que publicaron pruebas independientes respectivamente en 1910 y 1911.

El teorema de Egorov se puede utilizar junto con funciones continuas con soporte compacto para demostrar el teorema de Lusin para funciones integrables .

nota historica

La primera demostración del teorema fue dada por Carlo Severini en 1910: ^{[1] [2]} utilizó el resultado como herramienta en su investigación sobre series de funciones ortogonales . Su trabajo pasó aparentemente desapercibido fuera de Italia , probablemente debido a que está escrito en italiano , apareció en una revista científica de limitada difusión y fue considerado sólo como un medio para obtener otros teoremas. Un año más tarde, Dmitri Egorov publicó sus resultados probados de forma independiente, ^[3] y el teorema se hizo ampliamente conocido con su nombre; sin embargo, no es raro encontrar referencias a este teorema como el teorema de Severini-Egoroff. Los primeros matemáticos que demostraron independientemente el teorema en el espacio de medidas abstracto común hoy en día fueron Frigyes Riesz  (1922, 1928) y Wacław Sierpiński  (1928): ^[4] una generalización anterior se debe a Nikolai Luzin , quien logró relajar ligeramente el requisito de finitud de medida del dominio de convergencia de las funciones convergentes puntuales en el artículo amplio (Luzin 1916). ^{[5] Mucho más tarde} Pavel Korovkin , en el artículo (Korovkin 1947), y Gabriel Mokobodzki en el artículo (Mokobodzki 1970), dieron más generalizaciones .

Declaración formal y prueba

Declaración

Sea ( f _n ) una secuencia de funciones medibles valoradas en M , donde M es un espacio métrico separable, en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), y supongamos que hay un subconjunto medible A ⊆ X , con μ- medida, tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes de A a una función límite f . Se cumple el siguiente resultado: para cada ε > 0, existe un subconjunto B medible de A tal que μ( B ) < ε, y ( f _n ) converge a f uniformemente en A  \  B .

Aquí, μ( B ) denota la medida μ de B . En palabras, el teorema dice que la convergencia puntual en casi todas partes de A implica una convergencia uniforme aparentemente mucho más fuerte en todas partes excepto en algún subconjunto B de medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se denomina convergencia casi uniforme .

Discusión de supuestos y un contraejemplo.

• La hipótesis μ( A ) < ∞ es necesaria. Para ver esto, es sencillo construir un contraejemplo cuando μ es la medida de Lebesgue : considere la secuencia de funciones indicadoras de valores reales definidas en la recta real . Esta secuencia converge puntualmente a la función cero en todas partes, pero no converge uniformemente para ningún conjunto B de medida finita: se puede construir un contraejemplo en el espacio vectorial real de dimensión general , como lo muestra Cafiero (1959, p. 302). $${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La separabilidad del espacio métrico es necesaria para garantizar que para funciones f y g medibles con valores M , la distancia d ( f ( x ),  g ( x )) sea nuevamente una función medible de valor real de x .

Prueba

Arreglar . Para números naturales n y k , defina el conjunto En _,k por la unión ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.}$

Estos conjuntos se hacen más pequeños a medida que n aumenta, lo que significa que E _{n +1, k} es siempre un subconjunto de En _,k , porque la primera unión involucra menos conjuntos. Un punto x , para el cual la secuencia ( f _m ( x )) converge a f ( x ), no puede estar en cada E _n,k para un k fijo , porque f _m ( x ) tiene que permanecer más cerca de f ( x ) eventualmente más de 1/ k . Por lo tanto, por el supuesto de μ-casi en todas partes convergencia puntual en A ,

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0}$

por cada k . Como A es de medida finita, tenemos continuidad desde arriba ; por lo tanto existe, para cada k , algún número natural n _k tal que

${\displaystyle \mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}$

Para x en este conjunto consideramos que la velocidad de aproximación a la vecindad 1 / k de f ( x ) es demasiado lenta. Definir

${\displaystyle B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}}$

como el conjunto de todos aquellos puntos x en A , para los cuales la velocidad de aproximación a al menos uno de estos 1/ k -vecindades de f ( x ) es demasiado lenta. Por tanto , en la diferencia de conjuntos tenemos una convergencia uniforme. Explícitamente, para cualquiera , let , luego para cualquiera , tenemos en todos . ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\epsilon }$ ${\displaystyle n>n_{k}}$ ${\displaystyle |f_{n}-f|<\epsilon }$ ${\displaystyle A\setminus B}$

Apelando a la aditividad sigma de μ y utilizando la serie geométrica , obtenemos

${\displaystyle \mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\mu (E_{n_{k},k})<\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}$

Generalizaciones

La versión de Luzin.

La generalización de Nikolai Luzin del teorema de Severini-Egorov se presenta aquí según Saks (1937, p. 19).

Declaración

Bajo la misma hipótesis del teorema abstracto de Severini-Egorov, supongamos que A es la unión de una secuencia de conjuntos mensurables de medida μ finita, y ( f _n ) es una secuencia dada de funciones medibles con valores M en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes de A hacia una función límite f , entonces A puede expresarse como la unión de una secuencia de conjuntos mensurables H , A ₁ , A ₂ ,... tal que μ( H ) = 0 y ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k .

Prueba

Es suficiente considerar el caso en el que el conjunto A es en sí mismo de medida μ finita: utilizando esta hipótesis y el teorema estándar de Severini-Egorov, es posible definir por inducción matemática una secuencia de conjuntos { A _k } _{k=1 ,2,...} tal que

${\displaystyle \mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}}$

y tal que ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k para cada k . Eligiendo

${\displaystyle H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}$

entonces obviamente μ( H ) = 0 y el teorema queda demostrado.

La versión de Korovkin

La prueba de la versión de Korovkin sigue de cerca la versión de Kharazishvili (2000, pp. 183-184), que sin embargo la generaliza hasta cierto punto al considerar funcionales admisibles en lugar de medidas y desigualdades no negativas y respectivamente en las condiciones 1 y 2. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Declaración

Sea ( M , d ) un espacio métrico separable y ( X ,Σ) un espacio medible : considere un conjunto medible A y una clase que contenga A y sus subconjuntos medibles de modo que sus uniones e intersecciones contables pertenezcan a la misma clase. Supongamos que existe una medida no negativa μ tal que μ( A ) existe y ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ${\displaystyle \mu (\cap A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$si con para todos n ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$
2. ${\displaystyle \mu (\cup A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$si con . ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$

Si ( f _n ) es una secuencia de funciones medibles con valores M que convergen μ- casi en todas partes en una función límite f , entonces existe un subconjunto A′ de A tal que 0 < μ( A ) − μ( A′ ) < ε y donde la convergencia también es uniforme. ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$

Prueba

Considere la familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es el conjunto de números naturales definido de la siguiente manera: ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}}$

Obviamente

${\displaystyle A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}}$

por lo tanto existe un número natural m ₀ tal que poniendo A _{0,m 0} = A ₀ se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon }$

Utilizando A ₀ es posible definir la siguiente familia indexada

${\displaystyle A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}}$

satisfaciendo las dos relaciones siguientes, análogas a las encontradas anteriormente, es decir

${\displaystyle A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}}$

Este hecho nos permite definir el conjunto A _{1,m 1} = A ₁ , donde m ₁ es un número natural seguramente existente tal que

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon }$

Al iterar la construcción mostrada, se define otra familia indexada de conjunto { A _n } de manera que tenga las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }$
• ${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon }$para todos ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• para cada uno existe k _m tal que para todos entonces para todos ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq k_{m}}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}}$ ${\displaystyle x\in A_{m}}$

y finalmente poniendo

${\displaystyle A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

la tesis se prueba fácilmente.

Notas

1. Publicado en (Severini 1910).
2. Según Straneo (1952, p. 101), Severini, si bien reconocía su propia prioridad en la publicación del resultado, no estaba dispuesto a revelarlo públicamente: fue Leonida Tonelli quien, en la nota (Tonelli 1924), le atribuyó el mérito. prioridad por primera vez.
3. En la nota (Egoroff 1911)
4. Según Cafiero (1959, p. 315) y Saks (1937, p. 17).
5. Según Saks (1937, p. 19).

Referencias

Referencias históricas

• Egoroff, D. Th. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [Sobre secuencias de funciones mensurables], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 152 : 244–246, JFM  42.0423.01, disponible en Gallica .
• Riesz, F. (1922), "Sur le théorème de M. Egoroff et sur les opérations fonctionnelles linéaires" [Sobre el teorema de Egorov y las operaciones funcionales lineales], Acta Litt. AC Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Ciencia. Matemáticas. (Szeged) (en francés), 1 (1): 18–26, JFM  48.1202.01.
• Riesz, F. (1928), "Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes" [Prueba elemental del teorema de Egorov], Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán), 35 (1): 243–248, doi :10.1007/BF01707444, JFM  54.0271 .04, S2CID  121337393.
• Severini, C. (1910), "Sulle Successioni di funzioni ortogonali" [Sobre secuencias de funciones ortogonales], Atti dell'Accademia Gioenia , serie 5a (en italiano), 3 (5): Memoria XIII, 1−7, JFM  41.0475 .04. Publicado por la Accademia Gioenia de Catania .
• Sierpiński, W. (1928), "Remarque sur le théorème de M. Egoroff" [Observaciones sobre el teorema de Egorov], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (en francés), 21 : 84–87, JFM  57.1391.03.
• Straneo, Paolo (1952), "Carlo Severini", Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (3): 98–101, SEÑOR  0050531, disponible en la Biblioteca Digitale Italiana di Matematica. El obituario de Carlo Severini.
• Tonelli, Leonida (1924), "Su una proposizione fondamentale dell'analisi" [Una proposición fundamental de análisis], Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 2 (en italiano), 3 : 103–104, JFM  50.0192.01. Una breve nota en la que Leonida Tonelli le da crédito a Severini por la primera demostración del teorema de Severini-Egorov.

Referencias científicas

• Beals, Richard (2004), Análisis: Introducción, Cambridge : Cambridge University Press , págs. x+261, ISBN 0-521-60047-2, SEÑOR  2098699, Zbl  1067.26001
• Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione [ Medida e integración ], Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), vol. 5, Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503. Una monografía definitiva sobre integración y teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento limitante de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con medidas (funciones mensurables, conjuntos mensurables , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
• Kharazishvili, AB (2000), Funciones extrañas en el análisis real, Matemáticas puras y aplicadas: una serie de monografías y libros de texto, vol. 229 (1.ª ed.), Nueva York: Marcel Dekker , págs. viii+297, ISBN 0-8247-0320-0, SEÑOR  1748782, Zbl  0942.26001. Contiene una sección denominada Teoremas de tipo Egorov , donde el teorema básico de Severini-Egorov se presenta en una forma que generaliza ligeramente el de Korovkin (1947).
• Korovkin, PP (1947), "Generalización de un teorema de DF Egorov", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 58 : 1265–1267, MR  0023322, Zbl  0038.03803
• Luzin, N. (1916), "Интегралъ и тригонометрическій рядъ" [Series integrales y trigonométricas], Matematicheskii Sbornik (en ruso), 30 (1): 1–242, JFM  48.1368.01
• Mokobodzki, Gabriel (22 de junio de 1970), "Noyaux absolument mesurables et opérateurs nucléaires" [Núcleos y operadores nucleares absolutamente mensurables], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés), 270 : 1673–1675, MR  0270182 , Zbl  0211.44803
• Picone, Mauro ; Viola, Tullio (1952), Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione [ Conferencias sobre la teoría moderna de la integración ], Manuali Einaudi. Serie di matematica (en italiano), Torino : Edizioni Scientifiche Einaudi , p. 404, señor  0049983, Zbl  0046.28102, revisado por Cimmino, Gianfranco (1952), "M. Picone – T. Viola, Lezioni sulla teoria Moderna dell'Integrazione", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (4): 452–454y por Halmos, Paul R. (enero de 1953), "Review: M. Picone and T. Viola, Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione", Bulletin of the American Mathematical Society , 59 (1): 94, doi : 10.1090/ S0002-9904-1953-09666-5.
• Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral, Monografie Matematyczne, vol. 7, traducido por Young, LC , con dos notas adicionales de Stefan Banach (2ª ed.), Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI+347, JFM  63.0183.05, Zbl  0017.30004(disponible en la Biblioteca Virtual de Ciencias de Polonia).

enlaces externos

• Teorema de Egorov en PlanetMath .
• Humpreys, Alexis. "Teorema de Egorov". MundoMatemático .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Egorov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press