densidad de Schnirelmann

En teoría de números aditivos, una forma de medir qué tan densa es una secuencia de números

En teoría de números aditivo , la densidad de Schnirelmann de una secuencia de números es una forma de medir qué tan "densa" es la secuencia. Lleva el nombre del matemático ruso Lev Schnirelmann , quien fue el primero en estudiarlo. ^{[1] [2]}

Definición

La densidad de Schnirelmann de un conjunto de números naturales A se define como

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},}$

donde A ( n ) denota el número de elementos de A que no exceden n e inf es mínimo . ^[3]

La densidad de Schnirelmann está bien definida incluso si el límite de A ( n )/ n como n → ∞ no existe (ver densidad asintótica superior e inferior ).

Propiedades

Por definición, 0 ≤ A ( n ) ≤ n y n σ A ≤ A ( n ) para todo n , y por lo tanto 0 ≤ σ A ≤ 1 , y σ A = 1 si y solo si A = N . Además,

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}$

Sensibilidad

La densidad de Schnirelmann es sensible a los primeros valores de un conjunto:

${\displaystyle \forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$.

En particular,

${\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0}$

y

${\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}.}$

En consecuencia, las densidades de Schnirelmann de los números pares e impares, que se podría esperar que coincidan, son 0 y 1/2 respectivamente. Schnirelmann y Yuri Linnik explotaron esta sensibilidad.

Teoremas de Schnirelmann

Si establecemos , entonces el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede reformular como . (Aquí el símbolo denota la suma de y .) Está claro que . De hecho, todavía tenemos , y uno podría preguntarse en qué punto la suma alcanza la densidad de Schnirelmann 1 y cómo aumenta. En realidad, se da el caso de que y se ve que la suma una vez más produce un conjunto más poblado, es decir, todos los de . Schnirelmann logró además desarrollar estas ideas en los siguientes teoremas, apuntando a la teoría de números aditivos, y demostrando que son un recurso novedoso (si no muy poderoso) para atacar problemas importantes, como el problema de Waring y la conjetura de Goldbach. ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle B\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Teorema. Sean y subconjuntos de . Entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

Tenga en cuenta que . Inductivamente, tenemos la siguiente generalización. ${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$

Corolario. Sea una familia finita de subconjuntos de . Entonces ${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma A_{i}\right).}$

El teorema proporciona las primeras ideas sobre cómo se acumulan las sumas. Parece desafortunado que su conclusión no llegue a demostrar que es superaditiva . Sin embargo, Schnirelmann nos proporcionó los siguientes resultados, que fueron suficientes para la mayor parte de su propósito. ${\displaystyle \sigma }$

Teorema. Sean y subconjuntos de . Si entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

Teorema. ( Schnirelmann ) Vamos . Si entonces existe tal que ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma A>0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

Bases aditivas

Un subconjunto con la propiedad de que, para una suma finita, se llama base aditiva , y el menor número de sumandos requeridos se llama grado (a veces orden ) de la base. Por tanto, el último teorema establece que cualquier conjunto con densidad de Schnirelmann positiva es una base aditiva. En esta terminología, el conjunto de cuadrados es una base aditiva de grado 4. (Acerca de un problema abierto para bases aditivas, consulte la conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas ). ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$

teorema de mann

Históricamente, los teoremas anteriores apuntaban al siguiente resultado, en un momento conocido como hipótesis. Fue utilizado por Edmund Landau y finalmente probado por Henry Mann en 1942. ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Teorema. (Mann 1942) Sean y subconjuntos de . En caso de eso , todavía tenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

Kneser obtuvo un análogo de este teorema para menor densidad asintótica. ^[4] Posteriormente, E. Artin y P. Scherk simplificaron la demostración del teorema de Mann. ^[5]

El problema de Waring

Sean y sean números naturales. Dejar . Definir como el número de soluciones integrales no negativas de la ecuación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

y ser el número de soluciones integrales no negativas de la desigualdad ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

en las variables , respectivamente. De este modo . Tenemos ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

El volumen del cuerpo dimensional definido por , está limitado por el volumen del hipercubo de tamaño , por lo tanto . La parte difícil es demostrar que este límite todavía funciona en promedio, es decir, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$ ${\displaystyle n^{1/k}}$ ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$

Lema. ( Linnik ) Para todos existe y una constante , dependiendo sólo de , tal que para todos , ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle c=c(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

para todos ${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

Teniendo esto en cuenta, se puede demostrar elegantemente el siguiente teorema.

Teorema. Para todos existe para lo cual . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$

Así hemos establecido la solución general al Problema de Waring:

Corolario. (Hilbert 1909) Para todos existe , dependiendo sólo de , de modo que cada número entero positivo pueda expresarse como la suma de como máximo muchas -ésimas potencias. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

constante de schnirelmann

En 1930, Schnirelmann utilizó estas ideas junto con el tamiz de Brun para demostrar el teorema de Schnirelmann , ^{[1] [2]} de que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos , donde C es un número efectivamente computable. constante: ^[6] Schnirelmann obtuvo C < 800000. ^[7] La ​​constante de Schnirelmann es el número C más bajo con esta propiedad. ^[6]

Olivier Ramaré demostró en (Ramaré 1995) que la constante de Schnirelmann es como máximo 7, ^[6] mejorando el límite superior anterior de 19 obtenido por Hans Riesel y RC Vaughan .

La constante de Schnirelmann es al menos 3; La conjetura de Goldbach implica que éste es el valor real de la constante. ^[6]

En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los números impares. Por lo tanto, la constante de Schnirelmann es como máximo 4. ^{[8] [9] [10] [11]}

Componentes esenciales

Khintchin demostró que la secuencia de cuadrados, aunque de densidad de Schnirelmann cero, cuando se suma a una secuencia de densidad de Schnirelmann entre 0 y 1, aumenta la densidad:

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

Esto pronto fue simplificado y ampliado por Erdős , quien demostró que si A es cualquier secuencia con densidad de Schnirelmann α y B es una base aditiva de orden k , entonces

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^[12]

y esto fue mejorado por Plünnecke para

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^[13]

Khintchin nombró componentes esenciales a las secuencias con esta propiedad, de densidad creciente menos de uno por adición . Linnik demostró que un componente esencial no tiene por qué ser una base aditiva ^[14] ya que construyó un componente esencial que tiene x ^{o (1)} elementos menores que  x . Más precisamente, la secuencia tiene

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

elementos menores que x para algunos c  < 1. Esto fue mejorado por E. Wirsing para

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

Durante un tiempo quedó abierto el problema de cuántos elementos debe tener un componente esencial. Finalmente, Ruzsa determinó que para todo ε  > 0 existe un componente esencial que tiene como máximo c (log  x ) ^{1+ ε} elementos hasta  x , pero no existe ningún componente esencial que tenga c (log  x ) ^{1+ o (1 )} elementos hasta  x . ^{[15] [16]}

Referencias

1. Schnirelmann, LG (1930). "Sobre las propiedades aditivas de los números", publicado por primera vez en "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (en ruso), vol XIV (1930), págs. 3-27, y reimpreso en "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (en ruso ), 1939, núm. 6, 9–25.
2. Schnirelmann, LG (1933). Publicado por primera vez como "Über aditivo Eigenschaften von Zahlen" en "Mathematische Annalen" (en alemán), vol 107 (1933), 649-690, y reimpreso como "Sobre las propiedades aditivas de los números" en "Uspekhin. Matematicheskikh Nauk" (en ruso), 1940, núm. 7, 7–46.
3. Nathanson (1996) págs. 191-192
4. Nathanson (1990) p.397
5. E. Artin y P. Scherk (1943) Sobre las sumas de dos conjuntos de números enteros, Ann. de Matemáticas 44, página=138-142.
6. Nathanson (1996) p.208
7. Gelfond y Linnik (1966) p.136
8. Helfgott, Harald A. (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [matemáticas.NT].
9. Helfgott, Harald A. (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [matemáticas.NT].
10. Helfgott, Harald A. (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es cierta". arXiv : 1312.7748 [matemáticas.NT].
11. Helfgoot, Harald A. (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [matemáticas.NT].
12. Ruzsa (2009) p.177
13. Ruzsa (2009) p.179
14. Linnik, Yu. V. (1942). "Sobre el teorema de Erdõs sobre la suma de secuencias numéricas". Estera. SB. 10 : 67–78. Zbl  0063.03574.
15. Imre Z. Ruzsa, Essential Components, Actas de la London Mathematical Society, volumen s3-54, número 1, enero de 1987, páginas 38–56, https://doi.org/10.1112/plms/s3-54.1.38 01 enero de 1987
16. Ruzsa (2009) p.184

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