Liber Abaci

Libro de matemáticas escrito en 1202 por Fibonacci.

Una página del Liber Abaci de la Biblioteca Central Nacional . La lista de la derecha muestra los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (la secuencia de Fibonacci ). Los números 2, 8 y 9 se parecen más a los números arábigos que a los números arábigos orientales o a los números indios .

El Liber Abaci o Liber Abbaci ^[1] ( en latín , "El libro de cálculo") fue una obra latina de 1202 sobre aritmética de Leonardo de Pisa, conocido póstumamente como Fibonacci . Es principalmente famoso por ayudar a popularizar los números arábigos en Europa.

Premisa

Liber Abaci fue uno de los primeros libros occidentales en describir el sistema de numeración hindú-árabe y en utilizar símbolos que se asemejan a los " números arábigos " modernos. Al abordar las aplicaciones tanto de comerciantes como de matemáticos, promovió la superioridad del sistema y el uso de estos glifos. ^[2]

Aunque el título del libro a veces se traduce como "El libro del ábaco", Sigler (2002) señala que es un error leer esto como una referencia a dispositivos de cálculo llamados "ábaco". Más bien, la palabra "ábaco" se usaba en ese momento para referirse al cálculo en cualquier forma; la ortografía "abbacus" con dos "b" (que es como la deletreó Leonardo en el manuscrito original en latín) se usaba, y todavía se usa en Italia, para referirse al cálculo utilizando números hindú-árabes, lo que puede evitar confusiones. El libro describe métodos para hacer cálculos sin la ayuda de un ábaco y, como confirma Ore (1948), durante siglos después de su publicación los algoristas (seguidores del estilo de cálculo demostrado en Liber Abaci ) permanecieron en conflicto con los abacistas (tradicionalistas que continuaron utilizar el ábaco junto con los números romanos). El historiador de las matemáticas Carl Boyer destaca en su Historia de las Matemáticas que aunque " Liber abaci ... no está sobre el ábaco" per se , sin embargo "...es un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos en los que el uso de Se recomienda encarecidamente utilizar los números hindú-árabes." ^[3]

Resumen de secciones

La primera sección presenta el sistema de numeración hindú-árabe, incluidos los métodos para convertir entre diferentes sistemas de representación. Esta sección también incluye la primera descripción conocida de la división de prueba para probar si un número es compuesto y, de ser así, factorizarlo . ^[4]

La segunda sección presenta ejemplos del comercio, como conversiones de moneda y medidas, y cálculos de ganancias e intereses . ^{[ cita necesaria ]}

La tercera sección analiza una serie de problemas matemáticos; por ejemplo, incluye (cap. II.12) el teorema chino del resto , números perfectos y primos de Mersenne , así como fórmulas para series aritméticas y números piramidales cuadrados . Otro ejemplo de este capítulo involucra el crecimiento de una población de conejos, donde la solución requiere generar una secuencia numérica. Aunque el problema se remonta mucho antes de Leonardo, su inclusión en su libro es la razón por la que la secuencia de Fibonacci lleva hoy su nombre. ^{[ cita necesaria ]}

La cuarta sección deriva aproximaciones, tanto numéricas como geométricas, de números irracionales como las raíces cuadradas. ^{[ cita necesaria ]}

El libro también incluye pruebas en geometría euclidiana . El método de Fibonacci para resolver ecuaciones algebraicas muestra la influencia del matemático egipcio de principios del siglo X Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam . ^[5]

Notación de Fibonacci para fracciones

Al leer el Liber Abaci , es útil comprender la notación de Fibonacci para los números racionales, una notación que tiene una forma intermedia entre las fracciones egipcias comúnmente utilizadas hasta ese momento y las fracciones vulgares que todavía se usan en la actualidad. ^[6]

La notación de Fibonacci se diferencia de la notación de fracciones moderna en tres aspectos clave: ^{[ cita necesaria ]}

1. La notación moderna generalmente escribe una fracción a la derecha del número entero al que se suma, por ejemplo, 7/3. En cambio, Fibonacci escribiría la misma fracción a la izquierda, es decir, . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle 2\,{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,2}$
2. Fibonacci utilizó una notación de fracción compuesta en la que una secuencia de numeradores y denominadores compartían la misma barra de fracción; cada uno de esos términos representaba una fracción adicional del numerador dado dividido por el producto de todos los denominadores debajo y a la derecha de él. Es decir , y . La notación se leyó de derecha a izquierda. Por ejemplo, 29/30 podría escribirse como , representando el valor . Esto puede verse como una forma de notación de base mixta y era muy conveniente para tratar con sistemas tradicionales de pesos, medidas y moneda. Por ejemplo, para unidades de longitud, un pie es 1/3 de yarda y una pulgada es 1/12 de pie, por lo que una cantidad de 5 yardas, 2 pies y pulgadas podría representarse como una fracción compuesta: yardas . Sin embargo, las notaciones típicas para medidas tradicionales, aunque se basan de manera similar en bases mixtas, no escriben los denominadores explícitamente; Los denominadores explícitos en la notación de Fibonacci le permiten utilizar diferentes bases para diferentes problemas cuando sea conveniente. Sigler también señala un caso en el que Fibonacci utiliza fracciones compuestas en las que todos los denominadores son 10, prefigurando la notación decimal moderna para fracciones. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}}$ ${\displaystyle 7{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5}$
3. Fibonacci a veces escribía varias fracciones una al lado de la otra, representando la suma de las fracciones dadas. Por ejemplo, 1/3+1/4 = 7/12, por lo que una notación como representaría el número que ahora se escribiría más comúnmente como número mixto o simplemente fracción impropia . La notación de esta forma se puede distinguir de las secuencias de numeradores y denominadores que comparten una barra de fracción por la ruptura visible en la barra. Si todos los numeradores son 1 en una fracción escrita de esta forma y todos los denominadores son diferentes entre sí, el resultado es una representación del número en fracción egipcia. Esta notación también se combinaba a veces con la notación de fracción compuesta: dos fracciones compuestas escritas una al lado de la otra representarían la suma de las fracciones. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2}$ ${\displaystyle 2\,{\tfrac {7}{12}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$

La complejidad de esta notación permite escribir números de muchas maneras diferentes, y Fibonacci describió varios métodos para convertir de un estilo de representación a otro. En particular, el capítulo II.7 contiene una lista de métodos para convertir una fracción impropia en una fracción egipcia, incluido el algoritmo codicioso para fracciones egipcias , también conocido como expansión de Fibonacci-Sylvester. ^{[ cita necesaria ]}

Modo Indorum

En el Liber Abaci , Fibonacci dice lo siguiente introduciendo el Modus Indorum afirmativo (el método de los indios), hoy conocido como sistema de numeración hindú-árabe o notación posicional de base 10. También introdujo dígitos que se parecían mucho a los números arábigos modernos . ^{[ cita necesaria ]}

Como mi padre era funcionario público fuera de nuestra patria en la aduana de Bugia establecida para los comerciantes pisanos que allí se reunían con frecuencia, hizo que me trajeran a él en mi juventud, buscando encontrarme un futuro útil y confortable; allí quería que estudiara matemáticas y me enseñara durante algunos días. Allí, de una maravillosa instrucción en el arte de las nueve figuras indias, la introducción y el conocimiento del arte me agradaron sobre todo, y aprendí de ellos, cualquiera que fuera instruido en él, de los cercanos Egipto, Siria, Grecia, Sicilia. y Provenza, y sus diversos métodos, a cuyos lugares de negocios viajé considerablemente después para estudiar mucho y aprendí de las disputas reunidas. Pero esto, en general, el algoritmo e incluso los arcos pitagóricos, todavía lo considero casi un error en comparación con el método indio. Por lo tanto, abrazando estrictamente el método indio y atento a su estudio, añadiendo algo desde mi propio sentido, y algo más aún del sutil arte geométrico euclidiano, aplicando a este libro la suma que pude percibir, trabajé para poner todo ello reunido en xv capítulos distintos, mostrando pruebas ciertas de casi todo lo que he puesto, de modo que, además, este método perfeccionado sobre los demás, esta ciencia se instruye a los ansiosos, y al pueblo italiano sobre todos los demás, que hasta ahora se encuentran sin mínimo. Si por casualidad omitiera algo menos o más propio o necesario, os pido indulgencia para conmigo, pues no hay nadie que esté libre de culpa, y es enteramente prudente en todo. ^{[ cita necesaria ]}

Las nueve figuras indias son:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Con estas nueve cifras, y con el signo 0 que los árabes llaman céfir, se escribe cualquier número... ^[7]

En otras palabras, en su libro defendió el uso de los dígitos del 0 al 9 y del valor posicional . Hasta ese momento, Europa utilizaba números romanos, lo que hacía que las matemáticas modernas fueran casi imposibles. De este modo, el libro hizo una importante contribución a la difusión de los números decimales. La expansión del sistema hindú-árabe, sin embargo, como escribe Ore, fue "prolongada", tardó muchos siglos más en extenderse ampliamente y no se completó hasta finales del siglo XVI, acelerándose dramáticamente sólo en el siglo XVI con la llegada de la imprenta. ^{[ cita necesaria ]}

Historia textual

La primera aparición del manuscrito fue en 1202. No se conocen copias de esta versión. Una versión revisada del Liber Abaci, dedicada a Michael Scot , apareció en 1227 d.C. ^{[8] [9]} Existen al menos diecinueve manuscritos que contienen partes de este texto. ^[10] Existen tres versiones completas de este manuscrito de los siglos XIII y XIV. ^[11] Hay otras nueve copias incompletas conocidas entre los siglos XIII y XV, y es posible que haya más aún sin identificar. ^{[11] [10]}

No se conoció una versión impresa del Liber Abaci hasta la traducción italiana de Boncompagni de 1857. ^[10] La primera traducción completa al inglés fue el texto de Sigler de 2002. ^[10]

Referencias

Citas

1. "Liber Abaci de Fibonacci (Libro de cálculo)". La Universidad de Utah . 13 de diciembre de 2009 . Consultado el 27 de noviembre de 2018 .
2. Devlin, Keith (2012). El hombre de los números: la revolución aritmética de Fibonacci . Libros caminantes. ISBN 978-0802779083.
3. Boyer, Carl (1968). Una historia de las matemáticas (PDF) . Nueva York, Londres, Sydney: John Wiley & Sons. pag. 280.
4. Mollin, Richard A. (2002). "Una breve historia de la factorización y las pruebas de primalidad BC (antes de las computadoras)". Revista Matemáticas . 75 (1): 18-29. doi :10.2307/3219180. SEÑOR  2107288.Véase también Sigler, págs. 65 y 66.
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). "Abu Kamil Shuja ibn Aslam". Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
6. Moyón, Marc; Spiesser, Maryvonne (3 de junio de 2015). "L'arithmétique des fraccions dans l'œuvre de Fibonacci: fundamentos y usos". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 69 (4): 391–427. doi :10.1007/s00407-015-0155-y.
7. Sigler 2002; ver Grimm 1973 para otra traducción
8. Scott, TC; Marketos, P., "Michael Scot", en O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
9. Scott, TC; Marketos, P. (marzo de 2014), Sobre el origen de la secuencia de Fibonacci (PDF) , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
10. Germano, Giuseppe (2013). "Nuevas perspectivas editoriales sobre el Liber Abaci de Fibonacci". Reti Medievali Rivista . doi :10.6092/1593-2214/400.
11. Diccionario de biografía científica (PDF) .

Bibliografía

• Grimm, RE (1973), "La autobiografía de Leonardo Pisano" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99-104.
• Ore, Øystein (1948), La teoría de números y su historia , McGraw Hill. También disponible la versión de Dover, 1988, ISBN 978-0-486-65620-5 . 
• Sigler, Laurence E. (trad.) (2002), Liber Abaci de Fibonacci , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8.

enlaces externos

• Pisano, Leonardo (1202), Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij [Manuscrito], Museo Galileo.