El Ars Magna ( El gran arte , 1545) es un importante libro en latín sobre álgebra escrito por Gerolamo Cardano . Fue publicado por primera vez en 1545 bajo el título Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus ( Libro número uno sobre El gran arte, o Las reglas del álgebra ). Hubo una segunda edición en vida de Cardano, publicada en 1570. Se considera [1] uno de los tres grandes tratados científicos del Renacimiento temprano , junto con De revolutionibus orbium coelestium de Copérnico y De humani corporis fabrica de Vesalio . Las primeras ediciones de estos tres libros se publicaron en un lapso de dos años (1543-1545).
En 1535, Niccolò Fontana Tartaglia se hizo famoso por haber resuelto ecuaciones cúbicas de la forma x 3 + ax = b (con a , b > 0). Sin embargo, decidió mantener su método en secreto. En 1539, Cardano, entonces profesor de matemáticas en la Fundación Piatti de Milán, publicó su primer libro matemático, Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis ( La práctica de la aritmética y la mensuración simple ). Ese mismo año, le pidió a Tartaglia que le explicara su método para resolver ecuaciones cúbicas . Después de algunas reticencias, Tartaglia lo hizo, pero le pidió a Cardano que no compartiera la información hasta que la publicara. Cardano se sumergió en las matemáticas durante los siguientes años trabajando en cómo extender la fórmula de Tartaglia a otros tipos de ecuaciones cúbicas. Además, su alumno Lodovico Ferrari encontró una forma de resolver ecuaciones de cuarto grado, pero el método de Ferrari dependía del de Tartaglia, ya que implicaba el uso de una ecuación cúbica auxiliar. Luego Cardano se dio cuenta de que Scipione del Ferro había descubierto la fórmula de Tartaglia antes que el propio Tartaglia, un descubrimiento que lo impulsó a publicar estos resultados.
El libro, que se divide en cuarenta capítulos, contiene la primera solución algebraica publicada para ecuaciones cúbicas y cuárticas . Cardano reconoce que Tartaglia le dio la fórmula para resolver un tipo de ecuaciones cúbicas y que la misma fórmula había sido descubierta por Scipione del Ferro. También reconoce que fue Ferrari quien encontró una forma de resolver ecuaciones cuárticas.
Como en aquella época los números negativos no eran generalmente reconocidos, saber resolver ecuaciones cúbicas de la forma x 3 + ax = b no significaba saber resolver ecuaciones cúbicas de la forma x 3 = ax + b (con a , b > 0), por ejemplo. Además, Cardano también explica cómo reducir ecuaciones de la forma x 3 + ax 2 + bx + c = 0 a ecuaciones cúbicas sin un término cuadrático, pero, de nuevo, tiene que considerar varios casos. En total, Cardano se vio impulsado al estudio de trece tipos diferentes de ecuaciones cúbicas (capítulos XI–XXIII).
En Ars Magna aparece por primera vez el concepto de raíz múltiple (capítulo I). El primer ejemplo que Cardano proporciona de ecuación polinómica con raíces múltiples es x 3 = 12 x + 16, de la que −2 es una raíz doble.
El Ars Magna también contiene la primera aparición de números complejos (capítulo XXXVII). El problema mencionado por Cardano que conduce a las raíces cuadradas de números negativos es: encontrar dos números cuya suma sea igual a 10 y cuyo producto sea igual a 40. La respuesta es 5 + √ −15 y 5 − √ −15 . Cardano llamó a esto "sofístico", porque no le vio ningún significado físico, pero escribió audazmente "no obstante, operaremos" y calculó formalmente que su producto efectivamente es igual a 40. Cardano luego dice que esta respuesta es "tan sutil como inútil".
Es un error común pensar que Cardano introdujo números complejos para resolver ecuaciones cúbicas. Dado que (en notación moderna) la fórmula de Cardano para una raíz del polinomio x 3 + px + q es
Las raíces cuadradas de números negativos aparecen naturalmente en este contexto. Sin embargo, q 2 /4 + p 3 /27 nunca resulta ser negativo en los casos específicos en los que Cardano aplica la fórmula. [2]
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a575d74279a3ccea6bdb94f77ff81437fbac89a)