coma pitagórica

Pequeño intervalo entre notas musicales

Coma pitagórica (531441:524288) en C

Coma pitagórica en do usando la notación de Ben Johnston . La nota que se muestra más abajo en el pentagrama (si♯ +++ ) es ligeramente más aguda (que do ♮ ).

La coma pitagórica ( CP ) se define en la afinación pitagórica como la diferencia entre semitonos (A1 – m2), o intervalo entre notas enarmónicamente equivalentes (de Re ♭ a Do ♯ ). La segunda disminuida tiene la misma amplitud pero sentido opuesto (de Re ♭ a Do ♯ a Re ♭ ).

En afinación musical , la coma pitagórica (o coma ditónica ^[a] ), llamada así por el antiguo matemático y filósofo Pitágoras , es el pequeño intervalo (o coma ) existente en la afinación pitagórica entre dos notas enarmónicamente equivalentes como do y si ♯ , o re ♭ y do ♯ . ^[1] Es igual a la relación de frecuencias (1,5) ¹² ⁄ 2 ⁷ = 531441 ⁄ 524288 ≈ 1,01364, o aproximadamente 23,46 centésimas , aproximadamente un cuarto de semitono (entre 75:74 y 74:73 ^[2] ). La coma que los temperamentos musicales a menudo "templan" es la coma pitagórica. ^[3]

La coma pitagórica también se puede definir como la diferencia entre una apótoma pitagórica y una limma pitagórica ^[4] (es decir, entre un semitono cromático y uno diatónico , tal como se determina en la afinación pitagórica); la diferencia entre 12 quintas perfectas y siete octavas ; o la diferencia entre tres ditonos pitagóricos y una octava. (Por eso la coma pitagórica también se llama coma ditónica ).

La segunda disminuida , en la afinación pitagórica, se define como la diferencia entre limma y apótome. Coincide, por tanto, con el opuesto de una coma pitagórica, y puede verse como una coma pitagórica descendente (p. ej. de do ♯ a re ♭ ), igual a unos −23,46 centésimas.

Derivación

Como se describe en la introducción, la coma pitagórica puede derivarse de múltiples maneras:

• Diferencia entre dos notas enarmónicamente equivalentes en una escala pitagórica, como Do y Si ♯ , o Re ♭ y Do ♯ (ver más abajo).
• Diferencia entre apótoma pitagórica y limma pitagórica .
• Diferencia entre 12 quintas perfectas y siete octavas .
• Diferencia entre tres ditonos pitagóricos ( terceras mayores ) y una octava.

La quinta justa tiene una relación de frecuencias de 3:2. Se utiliza en la afinación pitagórica, junto con la octava, como criterio para definir, respecto de una nota inicial dada, la frecuencia de cualquier otra nota.

La apótoma y la limma son los dos tipos de semitonos definidos en la afinación pitagórica. Es decir, la apótoma (aproximadamente 113,69 cents, por ejemplo, de do a do ♯ ) es el semitono cromático o unísono aumentado (A1), mientras que la limma (aproximadamente 90,23 cents, por ejemplo, de do a re ♭ ) es el semitono diatónico o segunda menor (m2).

Un dítono (o tercera mayor ) es un intervalo formado por dos tonos mayores . En la afinación pitagórica, un tono mayor tiene un tamaño de aproximadamente 203,9 centésimas (relación de frecuencia 9:8), por lo que un dítono pitagórico tiene aproximadamente 407,8 centésimas.

Tamaño

La coma pitagórica se muestra como el espacio (en el lado derecho) que hace que una estrella de 12 puntas no se cierre, y que representa la escala pitagórica; cada línea representa una quinta perfecta. Ese espacio tiene un ángulo central de 7,038 grados, que es el 23,46% de 30 grados.

El tamaño de una coma pitagórica, medida en centavos , es

${\displaystyle {\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!}$

o más exactamente, en términos de relaciones de frecuencia :

${\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

Círculo de quintas y cambio enarmónico

La coma pitagórica como doce quintas perfectas perfectamente afinadas en la notación de Ben Johnston

La coma pitagórica también puede considerarse como la discrepancia entre 12 quintas perfectas perfectamente afinadas (relación 3:2) y siete octavas (relación 2:1):

${\displaystyle {\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

En la siguiente tabla de escalas musicales en el círculo de quintas , la coma pitagórica es visible como el pequeño intervalo entre, por ejemplo, F ♯ y G ♭ . Al recorrer el círculo de quintas con solo intervalos, se obtiene una coma bombeada por la coma pitagórica.

Las escalas de 6 ♭ y 6 ♯ ^[i] no son idénticas, aunque estén en el teclado del piano , pero las escalas de ♭ están una coma pitagórica más abajo. Si no se tiene en cuenta esta diferencia, se produce un cambio enarmónico .

1. Las escalas de 7 ♭ y 5 ♯ , respectivamente 5 ♭ y 7 ♯ difieren de la misma manera en una coma pitagórica. Las escalas con siete alteraciones accidentales rara vez se utilizan, ^[5] porque las escalas enarmónicas con cinco alteraciones accidentales se tratan como equivalentes.

Este intervalo tiene serias implicaciones para los diversos esquemas de afinación de la escala cromática , porque en la música occidental, 12 quintas perfectas y siete octavas se tratan como el mismo intervalo. El temperamento igual , hoy el sistema de afinación más común en Occidente, reconcilió esto al aplanar cada quinta en una doceava parte de una coma pitagórica (aproximadamente 2 centésimas), produciendo así octavas perfectas.

Otra forma de expresar esto es que la quinta justa tiene una relación de frecuencia (en comparación con la tónica) de 3:2 o 1,5 a 1, mientras que el séptimo semitono (basado en 12 divisiones logarítmicas iguales de una octava) es la séptima potencia de la raíz duodécima de dos o 1,4983... a 1, que no es exactamente lo mismo (una diferencia de aproximadamente el 0,1%). Lleva la quinta justa a la duodécima potencia, luego réstale siete octavas y obtendrás la coma pitagórica (una diferencia de aproximadamente el 1,4%).

Historia

El primero en mencionar la proporción de la coma de 531441:524288 fue Euclides , quien toma como base el tono entero de la afinación pitagórica con la proporción de 9:8, la octava con la proporción de 2:1 y un número A = 262144. Concluye que al elevar este número en seis tonos enteros se obtiene un valor, G, que es mayor que el que se obtiene al elevarlo en una octava (dos veces A). Da G como 531441. ^[6] Los cálculos necesarios son:

Cálculo de G:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Cálculo del doble de A:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

Los matemáticos chinos conocían la coma pitagórica ya en el año 122 a. C. (su cálculo se detalla en el Huainanzi ) y, alrededor del año 50 a. C., Ching Fang descubrió que si el ciclo de quintas perfectas continuaba más allá de 12 hasta llegar a 53, la diferencia entre este tono 53 y el tono inicial sería mucho menor que la coma pitagórica. Este intervalo mucho más pequeño se denominó posteriormente coma de Mercator ( véase: historia del temperamento igual 53 ).

En el Concepto cromático lidio de organización tonal de George Russell (1953), el semitono entre la tónica lidia y ♭ 2 en sus escalas de blues mayores alteradas y menores auxiliares disminuidas se basa teóricamente en la coma pitagórica. ^[7]

Véase también

• Coma holdriana
• Cisma

Notas

1. No debe confundirse con la coma diatónica, más conocida como coma sintónica , igual a la relación de frecuencias 81:80, o alrededor de 21,51 centésimas. Véase: Johnston, Ben (2006). "Maximum Clarity" and Other Writings on Music , editado por Bob Gilmore . Urbana: University of Illinois Press. ISBN  0-252-03098-2 .

Referencias

1. Apel, Willi (1969). Harvard Dictionary of Music , pág. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . "...la diferencia entre los dos semitonos de la escala pitagórica..." 
2. Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica , pág. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3 . 
3. Coyne, Richard (2010). La sintonía del lugar: espacios sociales y medios digitales generalizados , pág. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 . 
4. Kottick, Edward L. (1992). Guía del propietario del clavicémbalo , pág. 151. ISBN 0-8078-4388-1 . 
5. "Resumen completo de composiciones con siete alteraciones accidentales", Ulrich Reinhardt
6. Euclides : Katatome kanonos (lat. Sectio canonis ). Trad. inglesa en: Andrew Barker (ed.): Greek Musical Writings. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory , Cambridge, Massachusetts: Cambridge University Press, 2004, pp. 190–208, aquí: p. 199.
7. Russell, George (2001) [1953]. George Russell's Lydian Chromatic Concept of Tonal Organization . Volumen uno: El arte y la ciencia de la gravedad tonal (Cuarta edición, corregida, 2008). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. págs. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .