Ecuación xy = yx

En general, la exponenciación no es conmutativa.

Gráfica de x ^y = y ^x . La recta y la curva se intersecan en ( e , e ).

En general, la exponenciación no es conmutativa . Sin embargo, la ecuación tiene soluciones, como ^[1] ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x=2,\ y=4.}$

Historia

La ecuación se menciona en una carta de Bernoulli a Goldbach (29 de junio de 1728 ^[2] ). La carta contiene una afirmación de que cuando las únicas soluciones en números naturales son y aunque hay infinitas soluciones en números racionales , como y . ^{[3] [4]} La respuesta de Goldbach (31 de enero de 1729 ^[2] ) contiene una solución general de la ecuación, obtenida sustituyendo ^[3] Euler encontró una solución similar . ^[4] ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x\neq y,}$ ${\displaystyle (2,4)}$ ${\displaystyle (4,2),}$ ${\displaystyle ({\tfrac {27}{8}},{\tfrac {9}{4}})}$ ${\displaystyle ({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}})}$ ${\displaystyle y=vx.}$

J. van Hengel señaló que si son números enteros positivos con , entonces es suficiente considerar posibilidades y para encontrar soluciones en números naturales. ^{[4] [5]} ${\displaystyle r,n}$ ${\displaystyle r\geq 3}$ ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r};}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=2}$

El problema se discutió en varias publicaciones. ^{[2] [3] [4]} En 1960, la ecuación estaba entre las preguntas del Concurso William Lowell Putnam , ^{[6] [7]} lo que impulsó a Alvin Hausner a extender los resultados a los campos de números algebraicos . ^{[3] [8]}

Soluciones reales positivas

Fuente principal: ^[1]

Forma explícita

Un conjunto infinito de soluciones triviales en números reales positivos viene dado por Las soluciones no triviales se pueden escribir explícitamente utilizando la función W de Lambert . La idea es escribir la ecuación como e intentar hacer coincidir y multiplicando y elevando ambos lados por el mismo valor. Luego, aplicar la definición de la función W de Lambert para aislar la variable deseada. ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle ae^{b}=c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a'e^{a'}=c'\Rightarrow a'=W(c')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y^{x}&=x^{y}=\exp \left(y\ln x\right)&\\y^{x}\exp \left(-y\ln x\right)&=1&\left({\mbox{multiply by }}\exp \left(-y\ln x\right)\right)\\y\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&=1&\left({\mbox{raise by }}1/x\right)\\-y{\frac {\ln x}{x}}\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&={\frac {-\ln x}{x}}&\left({\mbox{multiply by }}{\frac {-\ln x}{x}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -y{\frac {\ln x}{x}}=W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\frac {-x}{\ln x}}\cdot W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)=\exp \left(-W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)}$

Donde en el último paso utilizamos la identidad . ${\displaystyle W(x)/x=\exp(-W(x))}$

Aquí dividimos la solución en dos ramas de la función W de Lambert y nos centramos en cada intervalo de interés, aplicando las identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{for }}&0<x\leq e,\\W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{for }}&x\geq e.\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 0<x\leq 1}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow y&=\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\&=\exp \left(-(-\ln x)\right)\\&=x\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 1<x<e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x=e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}={\frac {-1}{e}}}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x>e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

Por lo tanto las soluciones no triviales son:

${\displaystyle y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln(x)}{x}}\right)\right)\quad &{\text{for }}x>e,\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\quad &{\text{for }}1<x<e.\end{cases}}}$

Forma paramétrica

Las soluciones no triviales se pueden encontrar más fácilmente suponiendo y dejando Entonces ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle y=vx.}$

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

Elevando ambos lados a la potencia y dividiendo por , obtenemos ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Entonces las soluciones no triviales en números reales positivos se expresan como la ecuación paramétrica

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=v^{1/(v-1)},\\y&=v^{v/(v-1)}.\end{aligned}}}$

La solución completa es entonces ${\displaystyle (y=x)\cup \left(v^{1/(v-1)},v^{v/(v-1)}\right){\text{ for }}v>0,v\neq 1.}$

Con base en la solución anterior, la derivada para los pares en la línea y para los otros pares se puede encontrar mediante un cálculo sencillo que da como resultado: ${\displaystyle dy/dx}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=x,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (dy/dv)/(dx/dv),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=v^{2}\left({\frac {v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}}\right)}$

para y ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle v\neq 1.}$

Establecer o generar la solución no trivial en números enteros positivos, ${\displaystyle v=2}$ ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}.}$

Existen otros pares formados por números algebraicos , como y , así como y . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}$ ${\displaystyle 4{\sqrt[{3}]{4}}}$

La parametrización anterior conduce a una propiedad geométrica de esta curva. Se puede demostrar que describe la curva isoclina donde las funciones de potencia de la forma tienen pendiente para alguna elección real positiva de . Por ejemplo, tiene una pendiente de en la que también es un punto de la curva ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x^{v}}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle v\neq 1}$ ${\displaystyle x^{8}=y}$ ${\displaystyle 8^{2}}$ ${\displaystyle ({\sqrt[{7}]{8}},{\sqrt[{7}]{8}}^{8}),}$ ${\displaystyle x^{y}=y^{x}.}$

Las soluciones triviales y no triviales se intersecan cuando . Las ecuaciones anteriores no se pueden evaluar directamente en , pero podemos tomar el límite como . Esto se hace más convenientemente sustituyendo y dejando , por lo que ${\displaystyle v=1}$ ${\displaystyle v=1}$ ${\displaystyle v\to 1}$ ${\displaystyle v=1+1/n}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}$

Por lo tanto, la línea y la curva se intersecan en x = y = e . ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle x^{y}-y^{x}=0,\,\,y\neq x}$

Como , la solución no trivial es asíntota de la recta . Una forma asintótica más completa es ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .}$

Otras soluciones reales

También existe un conjunto infinito de soluciones reales discretas con al menos una de y negativas. Estas se proporcionan mediante la parametrización anterior cuando los valores generados son reales. Por ejemplo, , es una solución (usando la raíz cúbica real de ). De manera similar, un conjunto infinito de soluciones discretas se proporciona mediante la solución trivial para cuando es real; por ejemplo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$ ${\displaystyle y={\frac {-2}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x^{x}}$ ${\displaystyle x=y=-1}$

Gráficos similares

Ecuaciónx √ y = y √ x

La ecuación produce un gráfico en el que la línea y la curva se intersecan en . La curva también termina en (0, 1) y (1, 0), en lugar de continuar hasta el infinito. ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}}$ ${\displaystyle 1/e}$

La sección curva se puede escribir explícitamente como

${\displaystyle y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 0<x<1/e,}$

${\displaystyle y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 1/e<x<1.}$

Esta ecuación describe la curva isoclina donde las funciones de potencia tienen pendiente 1, análoga a la propiedad geométrica descrita anteriormente. ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$

La ecuación es equivalente a como se puede ver elevando ambos lados a la potencia De manera equivalente, esto también se puede demostrar para demostrar que la ecuación es equivalente a . ${\displaystyle y^{y}=x^{x},}$ ${\displaystyle xy.}$ ${\displaystyle {\sqrt[{y}]{y}}={\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$

Ecuaciónlog x ( y ) = log y ( x )

La ecuación produce un gráfico en el que la curva y la línea se intersecan en (1, 1). La curva se vuelve asintótica a 0, en lugar de 1; es, de hecho, la sección positiva de y  = 1/ x . ${\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)}$

Referencias

1. Lóczi, Lajos. "Sobre potencias conmutativas y asociativas". KöMaL . Archivado desde el original el 15 de octubre de 2002.Traducción de: "Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?" (en húngaro). Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016.
2. Singmaster, David . "Fuentes en matemáticas recreativas: una bibliografía comentada. Octava edición preliminar". Archivado desde el original el 16 de abril de 2004.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
3. Sved, Marta (1990). "Sobre las soluciones racionales de xy = yx" (PDF) . Revista de Matemáticas . 63 : 30–33. doi :10.1080/0025570X.1990.11977480. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.
4. Dickson, Leonard Eugene (1920), "Soluciones racionales de xy = yx", Historia de la teoría de números , vol. II, Washington, pág. 687{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. van Hengel, Johann (1888). "Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positivn ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt". Pr. Gimnasio. Emmerich . JFM  20.0164.05.
6. Gleason, AM ; Greenwood, RE; Kelly, LM (1980), "La vigésimo primera competición matemática William Lowell Putnam (3 de diciembre de 1960), sesión de la tarde, problema 1", Problemas y soluciones de la competición matemática William Lowell Putnam: 1938-1964 , MAA , pág. 59, ISBN 0-88385-428-7
7. "21st Putnam 1960. Problema B1". 20 de octubre de 1999. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2008.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
8. Hausner, Alvin (noviembre de 1961). "Campos numéricos algebraicos y la ecuación diofántica m ⁿ = n ^m ". The American Mathematical Monthly . 68 (9): 856–861. doi :10.1080/00029890.1961.11989781. ISSN  0002-9890.

Enlaces externos

• "Soluciones racionales para x^y = y^x". CTK Wiki Math . Archivado desde el original el 2021-08-15 . Consultado el 2016-04-14 .
• "x^y = y^x - potencias conmutativas". Acertijos aritméticos y analíticos . Torsten Sillke. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2015.
• dborkovitz (29 de enero de 2012). "Gráfico paramétrico de x^y=y^x". GeoGebra .
• Secuencia OEIS A073084 (Expansión decimal de −x, donde x es la solución negativa de la ecuación 2^x = x^2)