Retorcerse

Invariante de un diagrama de nudos

En la teoría de nudos , existen varias nociones en competencia sobre la cantidad writhe o . En un sentido, es puramente una propiedad de un diagrama de vínculos orientados y asume valores enteros . En otro sentido, es una cantidad que describe la cantidad de "enrollamiento" de un nudo matemático (o cualquier curva simple cerrada ) en el espacio tridimensional y asume números reales como valores. En ambos casos, writhe es una cantidad geométrica, lo que significa que, aunque se deforme una curva (o diagrama) de tal manera que no cambie su topología, aún se puede cambiar su writhe. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

Diagramas de enlaces de torsión

En la teoría de nudos , la torsión es una propiedad de un diagrama de enlaces orientados . La torsión es el número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos.

En cada componente se asigna una dirección al enlace en un punto y se sigue esa dirección en todo el recorrido de cada componente. En cada cruce que se encuentre al viajar en esa dirección, si la hebra de abajo va de derecha a izquierda, el cruce es positivo; si la hebra de abajo va de izquierda a derecha, el cruce es negativo. Una forma de recordar esto es utilizar una variación de la regla de la mano derecha .

Para un diagrama de nudos, el uso de la regla de la mano derecha con cualquier orientación da el mismo resultado, por lo que la torsión está bien definida en los diagramas de nudos no orientados.

Un movimiento de Reidemeister Tipo I cambia el retorcimiento en 1

La torsión de un nudo no se ve afectada por dos de los tres movimientos de Reidemeister : los movimientos de Tipo II y Tipo III no afectan la torsión. Sin embargo, el movimiento de Reidemeister Tipo I aumenta o disminuye la torsión en 1. Esto implica que la torsión de un nudo no es una invariante isotópica del nudo en sí, solo del diagrama. Mediante una serie de movimientos de Tipo I, se puede hacer que la torsión de un diagrama para un nudo dado sea cualquier número entero.

Retorcimiento de una curva cerrada

La torsión es también una propiedad de un nudo representado como una curva en el espacio tridimensional. Estrictamente hablando, un nudo es una curva de este tipo, definida matemáticamente como una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . Al observar la curva desde diferentes puntos de vista, se pueden obtener diferentes proyecciones y dibujar los diagramas de nudos correspondientes . Su torsión (en el sentido de curva espacial) es igual al promedio de los valores integrales de torsión obtenidos a partir de las proyecciones desde todos los puntos de vista. ^[2] Por lo tanto, la torsión en esta situación puede tomar cualquier número real como un valor posible. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

En un artículo de 1961, ^[3] Gheorghe Călugăreanu demostró el siguiente teorema: tomemos una cinta en , sea el número de enlace de sus componentes del borde y sea su torsión total . Entonces la diferencia depende solo de la curva central de la cinta , ^[2] y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lk} }$ ${\displaystyle \operatorname {Tw} }$ ${\displaystyle \operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$.

En un artículo de 1959, ^[4] Călugăreanu también mostró cómo calcular la torsión Wr con una integral . Sea una curva suave, simple y cerrada y sean y puntos en . Entonces la torsión es igual a la integral de Gauss ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$.

Aproximación numérica de la integral de Gauss para la torsión de una curva en el espacio

Dado que la torsión de una curva en el espacio se define como una integral doble , podemos aproximar su valor numéricamente representando primero nuestra curva como una cadena finita de segmentos de línea. Un procedimiento que fue derivado por primera vez por Michael Levitt ^[5] para la descripción del plegamiento de proteínas y luego utilizado para el ADN superenrollado por Konstantin Klenin y Jörg Langowski ^[6] es calcular ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$,

donde es la evaluación exacta de la integral doble sobre los segmentos de línea y ; note que y . ^[6] ${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$ ${\displaystyle \Omega _{i,i+1}=\Omega _{ii}=0}$

Para evaluar los segmentos dados numerados y , numere los puntos finales de los dos segmentos 1, 2, 3 y 4. Sea el vector que comienza en el punto final y termina en el punto final . Defina las siguientes cantidades: ^[6] ${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{pq}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

Luego calculamos ^[6]

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

Finalmente, compensamos la posible diferencia de signos y dividimos por para obtener ^[6] ${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

Además, otros métodos para calcular la torsión se pueden describir completamente matemáticamente y algorítmicamente, algunos de ellos superan al método anterior (que tiene una complejidad computacional cuadrática, al tener una complejidad lineal). ^[6]

Simulación de una varilla elástica que alivia la tensión de torsión mediante la formación de bobinas.

Aplicaciones en topología del ADN

El ADN se enrolla cuando se lo tuerce, al igual que una manguera de goma o una cuerda, y es por eso que los biomatemáticos usan la cantidad de torsión para describir la cantidad de deformación de un fragmento de ADN como resultado de esta tensión de torsión. En general, este fenómeno de formación de espirales debido a la torsión se conoce como superenrollamiento del ADN y es bastante común; de hecho, en la mayoría de los organismos el ADN está superenrollado negativamente. ^[1]

Cualquier varilla elástica, no solo el ADN, alivia la tensión de torsión al enrollarse, una acción que simultáneamente desenrolla y dobla la varilla. F. Brock Fuller muestra matemáticamente ^[7] cómo la “energía elástica debida a la torsión local de la varilla puede reducirse si la curva central de la varilla forma espirales que aumentan su número de retorcimientos”.

Véase también

• Superenrollamiento del ADN
• Número de enlace
• Teoría de la cinta
• Giro (matemáticas)
• Número de bobinado

Referencias

1. Bates, Andrew (2005). Topología del ADN. Oxford University Press . Págs. 36-37. ISBN. 978-0-19-850655-3.
2. Cimasoni, David (2001). "Cálculo de la torsión de un nudo". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (387): 387–395. arXiv : math/0406148 . doi :10.1142/S0218216501000913. MR  1825964. S2CID  15850269.
3. Călugăreanu, Gheorghe (1961). "Sur les classs d'isotopie des nœuds tridimensionnels et leurs invariants". Revista de Matemáticas Checoslovaca (en francés). 11 (4): 588–625. doi : 10.21136/CMJ.1961.100486 . SEÑOR  0149378.
4. Călugăreanu, Gheorghe (1959). "L'intégrale de Gauss et l'analyse des nœuds tridimensionnels" (PDF) . Revue de Mathématiques Pure et Appliquées (en francés). 4 : 5–20. SEÑOR  0131846.
5. Levitt, Michael (1986). "Plegamiento de proteínas mediante minimización de energía restringida y dinámica molecular". Revista de biología molecular . 170 (3): 723–764. CiteSeerX 10.1.1.26.3656 . doi :10.1016/s0022-2836(83)80129-6. PMID  6195346. 
6. Klenin, Konstantin; Langowski, Jörg (2000). "Cálculo de la torsión en el modelado del ADN superenrollado". Biopolímeros . 54 (5): 307–317. doi :10.1002/1097-0282(20001015)54:5<307::aid-bip20>3.0.co;2-y. PMID  10935971.
7. Fuller, F. Brock (1971). "El número sinuoso de una curva espacial". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 68 (4): 815–819. Bibcode :1971PNAS...68..815B. doi : 10.1073/pnas.68.4.815 . MR  0278197. PMC 389050 . PMID  5279522. 

Lectura adicional

• Adams, Colin (2004), El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3678-1