Pospěch empezó su carrera profesional un equipo de su ciudad natal, el SFC Opava.
En 2001 ficha por el FC Baník Ostrava, equipo con el que debuta en la Gambrinus liga.
En 2005 ficha por el Sparta Praga, equipo con el que se proclama campeón de Copa en dos ocasiones.
Su debut como internacional se produjo el 17 de agosto de 2005 en un partido contra Suecia (1-2), en el que saltó al campo para disputar la segunda mitad del partido.
Fue convocado para participar en la Eurocopa de Austria y Suiza de 2008, aunque no llegó a disputar ningún encuentro.