[1][2] Para cada juego cooperativo se asigna un único reparto (entre los jugadores) del beneficio total generado por la coalición de todos los jugadores.El valor de Shapley se caracteriza por una colección de propiedades deseables o axiomas que se describen a continuación.Dado que algunos jugadores pueden contribuir más a la coalición que otros, o pueden poseer diferente poder de negociación (por ejemplo, amenazando con destruir todo el excedente), ¿qué reparto final de los beneficios de la cooperación entre los jugadores debemos esperar que surjan en cualquier juego en particular?O expresado de otra manera: ¿qué importancia tiene cada jugador para la cooperación global, y qué recompensa puede él o ella razonablemente esperar?El valor de Shapley ofrece una posible respuesta a esta pregunta.que asigna subconjuntos de actores reales se llama función característica.tiene el siguiente significado: si S es una coalición de jugadores, entonces v(S), llamado el valor de la coaliciónEs una distribución "justa" en el sentido de que es la única distribución con ciertas propiedades deseables que se enumeran a continuación.es: Donde n es el número total de jugadores y la suma se extiende sobre todos los subconjuntos de N que no contiene el jugador i.La fórmula se puede interpretar de la siguiente manera: imaginar que la coalición está formando un actor a la vez, con cada actor exigiendo su contribución v (S ∪ {i}) - v (S) como una compensación justa, y luego para cada actor tomar el promedio de esta contribución sobre las diferentes posibles permutaciones en la que se puede formar la coalición.Una fórmula alternativa equivalente para el valor de Shapley es: donde la suma se extiende sobre todoEste juego es un juego de coalición, equivalente a que los jugadores tengan guantes izquierdos y derechos y deban formar parejas para darles valor.Si tenemos donde los jugadores 1 y 2 tienen guantes de la mano derecha y el jugador 3 tiene un guante de la mano izquierda.El problema fue introducido por Stephen Littlechild y G. Owen en 1973.El valor de Shapley tiene las siguientes propiedades deseables: 1.Linealidad: Si dos juegos cooperativos descritos por las funciones de ganancia v y w son combinados, entonces la ganancia distribuida debería corresponder a la ganancia derivada de v y w: También, por cada número real a: 4.Zero Player (Jugador Nulo): El valor de Shapleyde un jugador nulo i en un juego v es cero.Anónimo: Si i y j son dos actores, y w es la función de ganancia que actúa igual que v, excepto que los roles de i y j se han intercambiado, entonces φi(v) = φj(w).Marginalismo: el valor de Shapley puede definirse como una función que utiliza sólo las contribuciones marginales del jugador i como argumentos.
