Teorema de reactancia de Foster
Es fácil comprobar que las reactancias de los inductores y condensadores aumentan o disminuyen individualmente con la frecuencia, respectivamente, y a partir de ahí se puede construir una prueba para las redes pasivas sin pérdidas en general.
La demostración del teorema fue presentada por Ronald Martin Foster en 1924, aunque el principio había sido publicado antes por los colegas de Foster en American Telephone & Telegraph.
El teorema puede extenderse a las admitancias y al concepto englobante de las inmitancias.
Foster utilizó esta propiedad para desarrollar dos formas canónicas de realizar estas redes.
Es posible construir redes no Foster utilizando componentes activos, como amplificadores.
Éstos pueden generar una impedancia equivalente a una inductancia o capacitancia negativa.
La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia eléctrica compleja.
La especificación de que la red debe ser pasiva y sin pérdidas implica que no hay resistencias (sin pérdidas), ni amplificadores o fuentes de energía (pasivos) en la red.
Por consiguiente, la red debe estar formada exclusivamente por inductores y condensadores, y la impedancia será puramente un número imaginario con parte real cero.
donde 𝑋 es la reactancia y 𝑖 es la unidad imaginaria, entonces la admitancia viene dada por:
A menudo, en teoría de redes, un principio o procedimiento se aplica igualmente bien a la impedancia o a la admitancia, lo que refleja el principio de dualidad de las redes eléctricas.
En estas circunstancias, es conveniente utilizar el concepto de inmitancia, que puede significar tanto impedancia como admitancia.
En particular, se aplica a las redes de elementos distribuidos, aunque Foster lo formuló en términos de inductores y condensadores discretos.
𝐿 es la inductancia 𝜔 es la frecuencia angular por lo que la reactancia es,
A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el condensador, por lo que es grande y negativa.
Ésta aumenta monotónicamente hacia cero (la magnitud de la reactancia del condensador es cada vez menor).
La reactancia pasa por cero en el punto en el que las magnitudes de las reactancias del condensador y del inductor son iguales (la frecuencia de resonancia) y luego sigue aumentando monotónicamente a medida que la reactancia del inductor se vuelve progresivamente dominante.
Después de pasar por un polo, la función será negativa y está obligada a pasar por cero antes de alcanzar el siguiente polo si quiere ser monotónicamente creciente.
Esto se deduce del hecho de que la impedancia de los elementos L y C son en sí mismas funciones racionales simples y cualquier combinación algebraica de funciones racionales da como resultado otra función racional.
A veces se denomina impedancia del punto de conducción porque es la impedancia en el lugar de la red al que se conecta el circuito externo y lo "conduce" con una señal.
La realización de Foster tiene la ventaja de que los polos y/o ceros están directamente asociados con un circuito resonante particular, pero hay muchas otras realizaciones.
[6][7][8] Una red Foster debe ser pasiva, por lo que una red activa, que contenga una fuente de alimentación, puede no obedecer el teorema de Foster.
[6] Estos son de interés porque pueden realizar tareas que una red Foster no puede.
Las redes no Foster prácticas son un área activa de investigación.
[11] Foster publicó su artículo al año siguiente,[12] que incluía sus formas de realización canónicas.
Cauer estaba interesado en encontrar la condición necesaria y suficiente para la realizabilidad de una red racional de un puerto a partir de su función polinómica, condición que ahora se sabe que es una función real positiva, y el problema inverso de qué redes eran equivalentes, es decir, tenían la misma función polinómica.
