El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.
El teorema afirma que si
es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por:
{\displaystyle T=\mathbf {C} (F)={\bar {\mathbf {C} }}(FF^{T})}
, conjunto de matrices de 3×3.
, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.
Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FFT y el tensor deformación espacial (de Almansi) De es simplemente:
{\displaystyle B=FF^{T}=(I-2D_{e})^{-1}\,}
Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo:
Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por:
t r
{\displaystyle T=\mathbf {C} (I+2D)=\lambda \mathrm {tr} (D)I+2\mu D}
Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material.
Es decir, un sólido elástico lineal tiene:
t r
Esta ley constitutiva es funcionalmente idéntica a la de un material de Saint-Venant–Kirchhoff.