Teorema de Fáry

Si n ≥ 3, entonces todas las caras de G deben ser triángulos, ya que se podría agregar una arista a cualquier cara con más lados conservando la planaridad, contradiciendo la suposición de planaridad máxima.

Ahora, se eligen tres vértices a, b, c que formen una cara triangular de G. Se prueba por inducción sobre n que existe una reincrustación combinatoriamente isomorfa de G mediante segmentos rectos en la que el triángulo abc es la cara exterior de la incrustación ("combinatoriamente isomórfica" significa que los vértices, aristas y caras del nuevo dibujo se pueden hacer corresponder con los del dibujo anterior, de modo que todas las incidencias entre aristas, vértices y caras, no solo entre vértices y aristas, se conservan).

Por inducción, G' tiene una reintegración mediante segmentos rectos combinatoriamente isomórfica en la que abc es la cara exterior.

Para completar el dibujo de un nueva incrustación isomórfica combinatoria mediante segmentos rectos de G, v debe colocarse en el polígono y unirse mediante líneas rectas a los vértices del polígono.

del tipo descrito por el teorema de Tutte, proyectando dicha representación poliédrica en el plano.

Sin embargo, se sabe que existen incrustaciones mediante segmentos rectos de longitud entera para grafos cúbicos.