Fue educado en Hillhead High School, Glasgow, y su madre le enseñó a actuar en el escenario.
Después de trabajar en la minería como Bevin Boy en la Segunda Guerra Mundial,[2] desarrolló aún más sus habilidades interpretativas durante su servicio nacional con la unidad Combined Services Entertainment del Ejército Británico, trabajando junto al actor de comedia Kenneth Williams, actor Peter Vaughan, director de cine John Schlesinger y dramaturgo Peter Nichols, quien utilizó la experiencia como base para su obra Privates on Parade .
y sus sucesores, los espectáculos Five Past Eight en el Alhambra Theatre de Glasgow.
Fin del teatro West End con Sir Ralph Richardson, Coral Browne y Hayward Morse.
Baxter nutrió las carreras teatrales de Alyson McInnes y John Ramage.