«Run Baby Run» fue lanzado por tercera vez en el Reino Unido después del éxito de «All I Wanna Do» y «Strong Enough», alcanzando el No.

Crow ha declarado que, si bien la canción no es autobiográfica, ella puede relacionarse con ciertos aspectos del personaje.

[4]​ Alan Jones de Music Week escribió: «Un debut impresionante para la Srta.

En 1994, la canción fue relanzada en Europa y debutó en el puesto 83 en la UK Singles Chart, pero cayó del top 100 la semana siguiente.

[8]​ En Australia, se estancó en el puesto 156 en la ARIA Singles Chart en junio de 1994.

El video musical que acompaña a la canción fue dirigido por David Hogan y David Cameron[cita requerida] y presenta a Crow cantando en una habitación roja con su banda.