Problema de la moneda
En términos matemáticos, el problema puede ser establecido de la siguiente manera: A este número se le llama el Número Frobenius del conjunto { a1, a2, …, an }, y generalmente se denota por g(a1, a2, …, an).
El requisito de que el máximo divisor común (MCD) sea igual a 1, es necesario para que exista el número de Frobenius.
Si el MCD no fuera 1, cada entero que no sea un múltiplo del MCD sería inexpresable como una combinación lineal, y mucho menos cónica del conjunto, y por lo tanto no habría un número mayor.
Por ejemplo, si tuviera dos tipos de monedas valoradas en 4 centavos y 6 centavos, el MCD sería 2, y no habría forma de combinar cualquier cantidad de tales monedas para producir una suma que era un número impar.
Solo existe una solución cerrada para el problema de la moneda donde n = 1 o 2.
No se conoce ninguna solución cerrada para n > 2.
Si n = 1, entonces a1 = 1 y todos los números naturales podrán formarse.
Por lo tanto, no existe ningún número Frobenius para la variable 1.
Esta fórmula fue descubierta por James Joseph Sylvester en 1884.
Sylvester también demostró en este caso que hay un total de
, hay exactamente un par de enteros no negativos
La fórmula se prueba de la siguiente manera.
Tenga en cuenta que, desde MCD(a_1, a_2) = 1<, todos los enteros
Para desarrollar un algoritmo voraz se conocen los tres números (ver Numerical semigroup para conocer los detalles de tales algoritmos) aunque los cálculos pueden ser muy tediosos si se hacen a mano.
Además, se han determinado los límites inferior y superior para los números de Frobenius de n = 3.
El límite inferior propuesto por Davison tiene la formula siguiente la cual es relativamente aproximada.
Dados los enteros a, d, s con MCD(a, d) = 1: Existe también una solución de forma cerrada para el número de Frobenius de un conjunto en una secuencia geométrica.
Dados los enteros m, n, k con MCD(m, n) = 1: Un caso especial del problema de la moneda a veces también se conoce como los números de McNugget.
Picciotto pensó en la aplicación en la década de 1980 mientras cenaba con su hijo en McDonald's, resolviendo el problema en una servilleta.
Según el teorema de Schur, dado que 6, 9 y 20 son relativamente primos, cualquier entero suficientemente grande se puede expresar como una combinación lineal de estos tres.
Por lo tanto, existe un número mayor que no es McNugget, y todos los enteros son más grandes que los números de McNugget.
El hecho de que cualquier entero mayor que 43 sea un número de McNugget se puede ver considerando las siguientes particiones enteras Se puede obtener cualquier número entero más grande agregando un número de 6 a la partición apropiada anterior.
, la solución puede también ser obtenida aplicando una formula presentada para
Además, una verificación directa demuestra que 43 McNuggets no pueden comprarse, ya que: Desde la introducción de las cajas de pepitas Happy Meal de 4 piezas, el número más grande que no es McNugget es 11.
En los países donde el tamaño de 9 piezas se reemplaza por el tamaño de 10 piezas, no existe el número más grande que no sea McNugget como cualquier número impar no se puede hacer.
En rugby sevens, aunque se permiten los cuatro tipos de puntaje, los intentos de penalización son raros y los objetivos son casi desconocidos.
Esto significa que las puntuaciones de los equipos casi siempre consisten en múltiplos de try (5 puntos) y tries convertidos (7 puntos).
A modo de ejemplo, ninguno de estos puntajes fue registrado en ningún juego en la 2014-15 Sevens World Series.
De manera similar, en el fútbol americano (reglas de la NFL), cualquier puntaje es posible en un juego sin pérdida excepto 1.
Como se otorgan 2 puntos por safety y 3 puntos por un field goal, todos los demás puntajes, aparte de 1, son posibles.
