La función matemática más básica que reproduce esta doble periodicidad viene dada por las ondas armónicas.
La experiencia indica que una piedra lanzada a la superficie del agua en reposo provoca la aparición de ondas.
Las ondas en la superficie del agua se desplazan con una velocidad lenta y, por tanto, fácil de apreciar.
Después del paso de la perturbación y cesada la excitación, la cuerda vuelve a adoptar su posición recta inicial.
Al trabajar con funciones armónicas para representar las ondas resulta sencillo introducir algunas magnitudes básicas como son la longitud de onda
El efecto producido en los diferentes puntos consiste en pequeños desplazamientos atómicos en torno a la posición que tenían en reposo (o equilibrio) y se propaga con una cierta velocidad.
La expresión más sencilla de una onda es, como se ha comentado, una sinusoidal, es decir, a la generada por una fuente que describe un movimiento armónico simple.
La función matemática que va a representar la onda expresa esas variaciones con respecto al medio sin perturbar, dependiendo de la posición de las partículas del medio en el que se propaga y del tiempo.
esta vez hacia la izquierda (existen dos posibilidades de desplazamiento para un movimiento en una dirección), se tendrá por el mismo razonamiento con una traslación
El resorte se hace oscilar siguiendo un movimiento armónico simple (MAS), de una determinada amplitud (
La formulación matemática es la misma para las ondas transversales y para las ondas longitudinales, poniendo especial atención en el argumento espacial de la onda y en la propia variable dependiente que define a la onda; ambas variables escalares deben cumplir con la relación longitudinal o transversal de que se trate.
Para distinguirlas es preciso tener claro el sentido físico de la onda que se está tratando en cada caso.
, se pueden obtener dos representaciones gráficas distintas: o bien en función del tiempo fijando un valor de la posición
Una vez conocidas ambas (mediante condiciones iniciales), proporcionan una onda armónica que es solución única a la ecuación de ondas.
Las ondas esféricas se producen en medios isótropos a causa de una perturbación inicial puntual (la fuente).
A mitad de recorrido entre dos nodos hay un antinodo, o vientre, donde las dos ondas se "potencian" mutuamente al máximo.
La energía en los nodos (en reposo en cualquier instante) es nula y en el antinodo o vientre es máxima (variando en función del tiempo).
son también pequeños y, por ello, la función seno se puede aproximar por su tangente quedando la anterior expresión de la siguiente manera:
Esta ecuación tiene como solución ondas planas que se propagan a lo largo de la dirección del eje
En general depende de las propiedades mecánicas del mismo por lo que es constante, si estas no varían.
Si bien las partículas del medio realizan pequeños desplazamientos alrededor de posiciones fijas y , por tanto, no son transportadas al avanzar la perturbación, sin embargo, la onda en su avance, transporta energía que va suministrando a los átomos y moléculas a su paso en forma de energía cinética.
Es decir, no se propaga la materia sino una energía que permite el movimiento de las partículas del medio, una condición dinámica.
Como se observa en el dibujo, la parte de la cuerda a la izquierda del fragmento ejerce una fuerza (tensión) con las componentes
A escala microscópica las moléculas realizan movimientos armónicos simples al paso de la onda.
Si el medio es isótropo, entonces se producirá una onda esférica a partir de un foco puntual.
La segunda expresión, aplicable solo a fase gas, se deduce de la anterior suponiendo una propagación en condiciones adiabáticas[34] ,
En cambio si la propagación se produjese acercándose al origen (onda regresiva) en el sentido negativo del eje
El oído humano es capaz de reconocer esta variación de presión en torno a la presión atmosférica y traducir estas fluctuaciones en impulsos nerviosos por medio del tímpano y otros elementos del aparato auditivo.
Al ir desplazándose la onda a lo largo del tubo, va comprimiendo progresivamente la región inmediata y propagando la llamada zona de ‘compresión’.
Las líneas radiales que se dirigen hacia afuera desde la fuente son los rayos y la potencia promedio que emite la fuente debe tener una distribución uniforme sobre cada frente de onda esférico, siendo la intensidad de la onda la misma para todas las orientaciones situadas a una distancia
Ondas circulares generadas en la superficie del agua al golpearla con los dedos (fuente de las ondas)
Ondas sonoras en cuerdas tensas de instrumentos musicales. Reproducción del organistrum del Pórtico de la Gloria, Santiago de Compostela (España)
Generación de ondas sonoras en tubos de fluido (aire). Tubo de Kundt. En azul la onda de desplazamiento, en naranja la onda de presión.
Ondas Viajeras. En negro la onda en el instante
=0. En color verde la onda se propaga hacia la derecha, onda progresiva, y mantiene su forma en instantes t posteriores. En color rojo la onda se propaga hacia la izquierda, onda regresiva, y mantiene su forma en instantes
posteriores.
Generación de un pulso transversal que se propaga por la cuerda
Generación de ondas periódicas en el seno de un fluido dispuesto en el interior de un tubo muy largo por el extremo derecho. Un émbolo situado en el extremo izquierdo provoca expansiones y compresiones en el fluido que se propagan en forma de una onda periódica.
En esta animación se muestra cómo al ir aumentando la frecuencia
, el periodo
va disminuyendo. La amplitud se ha mantenido constante e igual a 1 mm.
Avance de la onda en un tiempo igual al periodo T. El espacio recorrido por la onda en un periodo es su longitud de onda
, siendo v la velocidad de propagación.
Frente de onda de una onda plana viajando en el espacio tridimensional
Onda estacionaria (línea negrita). Está generada por la superposición de una onda progresiva que se propaga hacia la derecha (en azul) y una onda regresiva que se propaga hacia la izquierda (en rojo) de la misma amplitud, a lo largo del eje x con la misma velocidad. Los puntos rojos representan los nodos de la onda.
Diagrama de propagación de una onda armónica por una cuerda con una velocidad de propagación constante
Diagrama de fuerzas en un pequeño fragmento AB de una cuerda al paso de una onda. Se observan las fuerzas tangenciales que actúan en cada extremo del fragmento AB de la cuerda. El fragmento se encuentra desplazado una cantidad
de su posición de equilibrio y realiza un movimiento transversal en la dirección del eje vertical.
Propagación de un pulso en una cuerda. Las secciones de la cuerda (por ejemplo la seleccionada con la flecha) se desplazan en ambos sentidos de la dirección vertical al ser alcanzadas por el avance del pulso de izquierda a derecha. La onda transporta energía que, a su paso, va suministrando a las secciones de la cuerda en forma de energía cinética
Onda transversal en una cuerda. Ampliación de la misma, en una posición de coordenada
, correspondiente a un pequeño fragmento que abarca un
en el eje
. Se observa la fuerza
tangencial a la cuerda, sus proyecciones en los ejes
e
, así como el ángulo
utilizado para calcular la potencia generada por la onda,
, en un instante
a su paso por la posición
.
Potencia instantánea transportada por una onda armónica. Su periodo es la mitad que la de la onda que la genera. Se puede deducir a partir de la pequeña fuerza ejercida sobre una cuerda tensada en sus extremos.
Corte por el plano XY de la propagación de una onda esférica generada en el origen de coordenadas. Los frentes de onda esféricos avanzan al propagarse la onda. La intensidad de la onda en cada frente disminuye al aumentar el radio porque la energía se reparte en superficies cada vez mayores
Violinista generando ondas sonoras al presionar con el arco las cuerdas tensadas del violín
Un oído joven es capaz de escuchar los sonidos dentro de un intervalo de frecuencias comprendido entre 20 Hz y 20 kHz. Con la edad ese intervalo se va estrechando.
Onda sonora de presión. Diagrama que representa una pequeña perturbación (oscilación ) de la presión (en pascales, Pa) respecto de la presión atmosférica P de equilibrio (alrededor de
) en función del tiempo t, en una posición fija.
Generación de ondas sonoras longitudinales en un tubo de fluido. Se muestran las zonas de compresión y de enrarecimiento al pasar la perturbación, así como la periodicidad espacial de las mismas en un instante dado; La onda avanza hacia la derecha con una velocidad de propagación
.
Fuente puntual de ondas esféricas.
Sonómetro instrumento para medir el nivel sonoro en dB a partir de la presión acústica
