En el año 2010 tenía una población de 1628 habitantes y una densidad poblacional de 26,85 personas por km².

[2]​ El municipio de Exeter se encuentra ubicado en las coordenadas 36°40′17″N 93°56′11″O / 36.67139, -93.93639.

Según la Oficina del Censo de los Estados Unidos, el municipio tiene una superficie total de 60.64 km², de la cual 60.54 km² corresponden a tierra firme y (0.17%) 0.1 km² es agua.

De los 1628 habitantes, el municipio de Exeter estaba compuesto por el 94.84% blancos, el 0.25% eran afroamericanos, el 0.61% eran amerindios, el 1.35% eran asiáticos, el 0.06% eran isleños del Pacífico, el 1.11% eran de otras razas y el 1.78% pertenecían a dos o más razas.

Del total de la población el 4.55% eran hispanos o latinos de cualquier raza.