Mangrum nació en Texas, aunque en su etapa en la secundaria vivió en Los Ángeles (California).
Su carrera deportiva se vio interrumpida durante la Segunda Guerra Mundial, donde fue sargento en la Armada de Estados Unidos.
En 1948, Mangrum consiguió siete triunfos en el PGA Tour, entre ellos el World Championship of Golf, así como 21 top 10.
Asimismo, disputó la Copa Ryder con la selección estadounidense en las cuatro ediciones entre 1947 a 1953, logrando seis victorias en ocho partidos.
Mangrum se destacaba en el juego corto y realizando tiros rasantes con hierros.